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Hiperbola

Autor: Leandro Alegsa

26-01-2021

Uma hiperbola é um tipo de seção cônica. Como os outros três tipos de seções cônicas - parábolas, elipses e círculos - é uma curva formada pela interseção de um cone com um plano. Uma hipérbole é criada quando o plano cruza as duas metades de um cone duplo, criando duas curvas que se parecem exatamente uma com a outra, mas se abrem em direções opostas. Isto ocorre quando o ângulo entre o eixo do cone e o plano é menor do que o ângulo entre uma linha do lado do cone e o plano.

Hipérboles podem ser encontradas em muitos lugares na natureza. Por exemplo, um objeto em órbita aberta ao redor de outro objeto - onde ele nunca retorna - pode se mover na forma de uma hipérbole. Em um relógio de sol, o caminho seguido pela ponta da sombra ao longo do tempo é uma hipérbole.

Uma das hipérboles mais conhecidas é o gráfico da equação f ( x ) = 1 / x {\i1} $f(x)=1/x$ .

Uma hiperbola é a intersecção entre as duas metades de um cone duplo e um plano.

Definições e equações

As duas curvas desconectadas que compõem uma hipérbole são chamadas de braços ou ramos.

Os dois pontos onde os ramos estão mais próximos um do outro são chamados de vértices. A linha entre estes dois pontos é chamada de eixo transversal ou eixo principal. O ponto médio do eixo transversal é o centro da hipérbole.

A grandes distâncias do centro, os ramos da hipérbole se aproximam de duas linhas retas. Estas duas linhas são chamadas de assímptotas. À medida que a distância do centro aumenta, a hipérbole se aproxima cada vez mais das assímptotas, mas nunca as intercepta.

O eixo conjugado ou eixo menor é perpendicular, ou em ângulo reto com o eixo transversal. Os pontos finais do eixo conjugado estão na altura onde um segmento que intersecta o vértice e é perpendicular ao eixo transversal intercepta as assímptotas.

Uma hiperbola que tem um centro na origem do sistema de coordenadas cartesianas, que é o ponto (0,0), e tem um eixo transversal no eixo x pode ser escrita como a equação

x 2 a 2 - y 2 b 2 = 1. ${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.$

a é a distância entre o centro e um vértice. O comprimento do eixo transversal é igual a 2a. b é o comprimento de um segmento de linha perpendicular de um vértice a uma assímptota. O comprimento do eixo conjugado é igual a 2b.

As duas ramificações do tipo de hipérbole acima se abrem para a esquerda e para a direita. Se as ramificações se abrem para cima e para baixo e o eixo transversal está no eixo y, então a hipérbole pode ser escrita como a equação

y 2 a 2 - x 2 b 2 = 1. {\a^2}{a^2}-{\a^2}-{\a^2}-{\a^2}{b^2}=1.{\a^2} ${\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {x^{2}}{b^{2}}}=1.$

Gráfico de uma hiperbola (curvas vermelhas). As assímptotas são mostradas como linhas tracejadas azuis. O centro é rotulado como C e os dois vértices estão localizados em -a e a. Os focos são rotulados como F1 e F2.

Trajetória hiperbólica

Uma trajetória hiperbólica é a trajetória seguida por um objeto quando sua velocidade é maior que a velocidade de fuga de um planeta, satélite ou estrela. Isso significa que sua excentricidade orbital é maior do que 1. Por exemplo, meteoros se aproximam em uma trajetória hiperbólica, e sondas espaciais interplanetárias partem em uma.

Perguntas e Respostas

P: O que é uma hipérbole?

R: Uma hipérbole é um tipo de seção cônica, que é uma curva formada pela intersecção de um cone e de um plano. Ela é criada quando o plano cruza as duas metades de um cone duplo, criando duas curvas que se parecem exatamente uma com a outra, mas que se abrem em direções opostas.

P: Como se cria uma hipérbole?

R: Uma hipérbole é criada quando o plano cruza as duas metades de um cone duplo, criando duas curvas que se parecem exatamente uma com a outra, mas que se abrem em direções opostas. Isso ocorre quando o ângulo entre o eixo do cone e o plano é menor do que o ângulo entre uma linha do lado do cone e o plano.

P: Onde podemos encontrar exemplos de hipérboles na natureza?

R: Hipérboles podem ser encontradas em muitos lugares da natureza. Por exemplo, um objeto em órbita aberta ao redor de outro objeto - onde ele nunca retorna - pode se mover na forma de uma hipérbole. Em um relógio de sol, o caminho seguido pela ponta da sombra ao longo do tempo também tem a forma de uma hipérbole.

P: Que equação descreve um exemplo bem conhecido de uma hipérbole?

R: Um exemplo bem conhecido de uma equação que descreve uma hipérbole é f(x)=1/x .

P: O que são alguns outros tipos de seções cônicas além da hiperbola?

R: Outros tipos de seções cônicas incluem parábolas, elipses, e círculos.

P: Como esses diferentes tipos diferem uns dos outros?

R: As parábolas são curvas em forma de U com um ponto de vértice; as elipses são formas ovais com dois pontos focais; os círculos não têm pontos de vértice ou pontos focais; e finalmente, as hipérbolas têm duas linhas curvas separadas que se abrem para fora de seu ponto central em ângulos diferentes.