Equação algébrica
Em matemática, uma equação algébrica, também chamada equação polinomial sobre um dado campo, é uma equação da forma
P = Q {\\displaystyle P=Q} 
onde P e Q são polinómios sobre esse campo, e têm uma (univariada) ou mais de uma (multivariada) variável. Por exemplo:
y 4 + x y 2 = x 3 3 - x y 2 + y 2 - 1 7 ^{\an8}+{\an8} ^{\an8}={\an8}-x^{\an8}{\an8}-x^{\an8}-x^{\an8}-x^{\an8}-x^{\an8}-x^{\an8}-x^{\an8}-x^{\an8}-x^{\an8}-x^{\an8}-x 
é uma equação algébrica sobre os números racionais.
Duas equações são chamadas equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções. Isto significa que todas as soluções da segunda equação devem ser também soluções da primeira e vice-versa. A equação P = Q {\displaystyle P=Q} é equivalente a P - Q = 0 {\displaystyle P-Q=0}
. Assim, o estudo das equações algébricas é equivalente ao estudo dos polinómios.
Se uma equação algébrica estiver sobre as rações, pode sempre ser convertida para uma equivalente, onde todos os coeficientes são inteiros. Por exemplo, na equação dada acima, multiplicamos por 42 = 2-3-7 e agrupamos os termos no primeiro membro. A equação é convertida em
42 y 4 + 21 x y - 14 x 3 + 42 x y 2 - 42 y 2 + 6 = 0 {\i^{4}+21xy-14x^{3}+42xy^{2}-42y^{2}+6=0} 
As soluções de uma equação são os valores das variáveis para as quais a equação é verdadeira. Mas para equações algébricas existem também as chamadas raízes. Ao resolver uma equação, precisamos de dizer em que conjunto as soluções são permitidas. Por exemplo, para uma equação sobre as racionalizações, é possível encontrar soluções nos inteiros. Depois, a equação é uma equação diophantine. Também se pode procurar soluções no campo dos números complexos. Também se pode procurar soluções em números reais.
Os antigos matemáticos queriam as soluções de equações univariadas (isto é, equações com uma variável) sob a forma de expressões radicais, como x = 1 + 5 2 {\displaystyle x={\frac {\sqrt {5}}}{2}}}
para a solução positiva de x 2 + x - 1 = 0 {\displaystyle x^{2}+x-1=0}
. Os antigos egípcios sabiam resolver equações de grau 2 (isto é, equações em que a maior potência da variável é 2) desta forma. Durante a Renascença, Gerolamo Cardano resolveu a equação de grau 3 e Lodovico Ferrari resolveu a equação de grau 4. Finalmente Niels Henrik Abel provou em 1824 que a equação de grau 5 e as equações de grau superior nem sempre podem ser resolvidas com o uso de radicais. A teoria de Galois, com o nome de Évariste Galois, foi introduzida para dar critérios que permitissem decidir se uma equação é resolúvel utilizando radicais.
Perguntas e Respostas
P: O que é uma equação algébrica?
R: Uma equação algébrica é uma equação da forma P = Q, onde P e Q são polinômios sobre um determinado campo com uma ou mais variáveis.
P: Como duas equações podem ser equivalentes?
R: Duas equações são consideradas equivalentes se tiverem o mesmo conjunto de soluções, ou seja, todas as soluções de uma devem ser também soluções da outra e vice-versa.
P: O que significa resolver uma equação?
R: Resolver uma equação significa encontrar os valores para as variáveis que fazem a equação verdadeira. Esses valores são chamados de raízes.
P: Podem as equações algébricas sobre números racionais ser sempre convertidas para aquelas com coeficientes inteiros?
R: Sim, multiplicando ambos os lados por um número como 42 = 2-3-7 e agrupando os termos no primeiro membro, qualquer equação algébrica sobre números racionais pode ser convertida em uma com coeficientes inteiros.
P: Quando os matemáticos antigos queriam expressões radicais para equações univariadas?
R: Os matemáticos antigos queriam expressões radicais (como x=1+√5/2) para equações univariadas (equações com uma variável) durante o período da Renascença.
P: Quem resolveu as equações de grau 3 e 4 durante esse período?
R: Gerolamo Cardano resolveu as equações de grau 3 e Lodovico Ferrari resolveu as equações de grau 4 durante esse tempo.
P: Quem provou que as equações de grau superior nem sempre podem ser resolvidas com radicais?
R: Niels Henrik Abel provou em 1824 que as equações de grau mais elevado nem sempre podem ser resolvidas com radicais.
