Determinante

Autor: Leandro Alegsa Data de criação: 18 de dezembro de 2020

O determinante de uma matriz quadrada é um escalar (um número) que lhe diz algo sobre a forma como essa matriz se comporta. Pode calcular o determinante a partir dos números da matriz.

"O determinante da matriz ao estilo A $A$ " está escrito como det ( A ) {\displaystyle |det(A)} $\det(A)$ ou | A |displaystyle |A|} $|A|$ numa fórmula. Por vezes, em vez de det ( a b c d ), escrevemos ao estilo de jogo à esquerda ( begin ( bmatrix) a&bc&dend ( bmatrix) à direita ) e ao estilo de jogo $\det \left({\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right)$ à esquerda ( begin ( bmatrix) a&bc&dend ( bmatrix) à direita ). $\left|{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}\right|$ Escrevemos apenas det [a b c d], ao estilo de uma exposição, begin [bmatrix] a&bc&dend [bmatrix] e a $\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ b c d [d], ao estilo de uma exposição, esquerda [begin [matrix] a&bc&dend [matrix], direita.

Interpretação

Há algumas maneiras de compreender o que o determinante diz sobre a matriz.

Interpretação geométrica

Uma $n\times n$ matriz de n × n {\i1}displaystyle ntimes n} pode ser vista como descrevendo um mapa linear em n dimensões n {\i1}displaystyle n Neste caso, o determinante diz-lhe o factor pelo qual esta matriz escalona (cresce ou encolhe) uma região de n n -estilo n -espaço dimensional.

Por exemplo, uma $2\times 2$ matriz de 2 × 2 {\\i1}displaystyle 2 {\i1}displaystyle A $A$ , visto como um mapa linear, transformará um quadrado no espaço bidimensional num paralelogramo. A área desse paralelogramo será det ( A ) ao estilo de um ecrã, e será $\det(A)$ vezes tão grande como a área do quadrado.

Da mesma forma, uma $3\times 3$ matriz B de 3 × 3 {\i1} $B$ , vista como um mapa linear, transformará um cubo no espaço tridimensional num paralelepípedo. O volume desse paralelepípedo será det ( B ) ao estilo de um ecrã, e será $\det(B)$ vezes maior do que o volume do cubo.

O determinante pode ser negativo. Um mapa linear pode esticar e escalar um volume, mas também pode reflecti-lo sobre um eixo. Sempre que isto acontece, o sinal do determinante muda de positivo para negativo, ou de negativo para positivo. Um determinante negativo significa que o volume foi espelhado sobre um número ímpar de eixos.

"Interpretação do "sistema de equações

Pode-se ver uma matriz como descrevendo um sistema de equações lineares. Esse sistema tem uma solução não trivial única exactamente quando o determinante não é 0. (Não trivial significa que a solução não é apenas todos os zeros).

Se o determinante for zero, então ou não existe uma solução não trivial única, ou existem infinitamente muitas.

Matrizes Singulares

Uma matriz tem uma matriz inversa exactamente quando o determinante não é 0. Por esta razão, uma matriz com um determinante não nulo é chamada de invertível. Se o determinante for 0, então a matriz é chamada de não-invertível ou singular.

Geometricamente, pode-se pensar numa matriz singular como "achatando" o paralelepípedo num paralelogramo, ou um paralelogramo numa linha. Então o volume ou área é 0, e não há nenhum mapa linear que traga a forma antiga de volta.

Cálculo de um determinante

Há algumas maneiras de calcular um determinante.

Fórmulas para pequenas matrizes

Para $2\times 2$ matrizes de 1 × 1 {\\i1} $1\times 1$ e 2 × 2 {\i1}, pode-se lembrar das fórmulas:

det [ a ] = a , det [ a b c d ] = a d - b c . displaystyle {\det {begin{bmatrix}a{bmatrix}=a,qquad {\det {begin{bmatrix}a&bc&dend{bmatrix}=ad-bc. } $\det {\begin{bmatrix}a\end{bmatrix}}=a,\qquad \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$

Para $3\times 3$ matrizes de 3 × 3 {\i1}displaystyle 3 {\i3}, a fórmula é:

det [ a b c d e f g h i ] = a e i + d h c + g b f - g e c - a h f - d b i {\i1}displaystyle {\i}begin{\i}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}} ${\det {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}={\color {blue}{aei}+{dhc}+{gbf}}{\color {OrangeRed}{}-{gec}-{ahf}-{dbi}}}$

Pode usar a Regra de Sarrus (ver imagem) para se lembrar desta fórmula.

Expansão do Cofactor

Para matrizes maiores, o determinante é mais difícil de calcular. Uma forma de o fazer chama-se expansão do co-factor.

Digamos que temos uma $n\times n$ matriz n × n n n n $A$ . Primeiro, escolhemos qualquer linha ou coluna da matriz. Para cada número a i j {{\i1}displaystyle a_{\i} $a_{ij}$ nessa linha ou coluna, calculamos algo chamado o seu cofactor C i j {\i}displaystyle C_{\i}}. $C_{ij}$ . Então det ( A ) = ∑ a i j C i j {\displaystyle {\det(A)=sum a_{ij}C_{ij}}} $\det(A)=\sum a_{ij}C_{ij}$ .

Para calcular um tal cofactor C i j {\\i} {ij}} $C_{ij}$ Apagamos a linha i ao estilo i $i$ e a coluna j ao estilo j $j$ da matriz A ao estilo A $A$ . Isto dá-nos uma $(n-1)\times (n-1)$ matriz mais pequena ( n - 1 ) × ( n - 1 ) {\i1}displaystyle (n-1)}times (n-1)}displaystyle (n-1)}. Chamamos-lhe de M {\displaystyle M} $M$ . O cofactor C i j {\displaystyle C_{ij}} $C_{ij}$ depois igual a ( - 1 ) i + j det ( M ) {\displaystyle (-1)^{i+j}det(M)} $(-1)^{i+j}\det(M)$ .

Aqui está um exemplo de uma expansão do cofactor da coluna esquerda de uma $3\times 3$ matriz de 3 × 3 {\i1}displaystyle 3\i3}:

det [ 1 3 2 2 1 1 1 0 3 4 ] = 1 ⋅ C 11 + 2 ⋅ C 21 + 0 ⋅ C 31 = ( 1 ⋅ ( - 1 ) 1 + 1 det [ 1 1 1 3 4 ] ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) 2 + 1 det [ 3 2 3 4 ] ) + ( 0 ⋅ ( - 1 ) 3 + 1 det [ 3 2 1 1 ] ) = ( 1 ⋅ 1 ⋅ 1 ) + ( 2 ⋅ ( - 1 ) ⋅ 6 ) + 0 = − 11. estilo de jogo, baixar a cor, baixar a cor, baixar a matriz, 1&3&2&2&cor, 2&1&1&1&cor, 0&3&4&end{bmatrix}&=cor C_{11}+ cor C_21}+ cor C_31}cdot C_31=esquerda(cor {red}1}cdot (-1)^{1+1}det {begin{bmatrix}1&1&1&4end{bmatrix{bmatrix}direita)+esquerda(cor 2)cdot (-1)^{2+1}det {begin{bmatrix}3&2&3&4end{bmatrix}{direita)+esquerda(cor 0)cdot (-1)^{3+1}det {begin{bmatrix}3&2\1&1end{bmatrix}{bmatrix}direita)&=(cor {red}1}cdot 1\cdot 1)+(cor {red}2}cdot (-1){cdot 6)+(cor {red}0}&=-11.\Fim de alinhamento ${\begin{aligned}\det {\begin{bmatrix}{\color {red}1}&3&2\\{\color {red}2}&1&1\\{\color {red}0}&3&4\end{bmatrix}}&={\color {red}1}\cdot C_{11}+{\color {red}2}\cdot C_{21}+{\color {red}0}\cdot C_{31}\\&=\left({\color {red}1}\cdot (-1)^{1+1}\det {\begin{bmatrix}1&1\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}2}\cdot (-1)^{2+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\3&4\end{bmatrix}}\right)+\left({\color {red}0}\cdot (-1)^{3+1}\det {\begin{bmatrix}3&2\\1&1\end{bmatrix}}\right)\\&=({\color {red}1}\cdot 1\cdot 1)+({\color {red}2}\cdot (-1)\cdot 6)+{\color {red}0}\\&=-11.\end{aligned}}$

Como pode ver aqui, podemos poupar trabalho escolhendo uma linha ou coluna que tenha muitos zeros. Se um i j {\displaystyle a_{ij}} $a_{ij}$ for 0, não precisamos de calcular C i j {\displaystyle C_{ij}}}. $C_{ij}$ .

Páginas relacionadas

Volume

Controlo de autoridade

BNF: cb11975737s (dados)
LCCN: sh85037299
NDL: 00562696

Perguntas e Respostas

P: O que é um determinante?

R: Um determinante é um escalar (um número) que indica como se comporta uma matriz quadrada.

P: Como pode ser calculado o determinante de uma matriz?

R: O determinante de uma matriz pode ser calculado a partir dos números da matriz.

P: Como é escrito o determinante de uma matriz?

R: O determinante de uma matriz é escrito como det(A) ou |A| em uma fórmula.

P: Há outras maneiras de se escrever o determinante de uma matriz?

R: Sim, ao invés de det([a b c d]) e |[a b c d]|, pode-se simplesmente escrever det [a b c d] e |[a b c d]|.

P: O que significa quando dizemos "escalar"?

R: Um escalar é um número individual ou uma quantidade que tem magnitude, mas não tem nenhuma direção associada a ele.

P: O que são matrizes quadradas?

R: Matrizes quadradas são matrizes com igual número de linhas e colunas, tais como matrizes 2x2 ou 3x3.