Paralelepípedo

Em geometria, um paralelepípedo é uma figura tridimensional formada por seis paralelogramas (o termo rombóide também é usado às vezes com este significado). Por analogia, ele se refere a um paralelogramo assim como um cubo se relaciona a um quadrado ou como um cubóide a um retângulo. Na geometria euclidiana, sua definição abrange os quatro conceitos (ou seja, paralelepípedo, paralelogramo, cubo e quadrado). Neste contexto de geometria afim, no qual os ângulos não são diferenciados, sua definição admite apenas paralelogramos e paralelepípedos. Três definições equivalentes de paralelepípedo são

  • um poliedro com seis faces (hexaedro), cada uma das quais é um paralelogramo,
  • um hexaedro com três pares de faces paralelas, e
  • um prisma do qual a base é um paralelogramo.

O cubóide retangular (seis faces retangulares), o cubo (seis faces quadradas) e o romboedro (seis faces de losangos) são todos casos específicos de paralelepípedos.

Imóveis

Qualquer um dos três pares de faces paralelas pode ser visto como os planos de base do prisma. Um paralelepípedo tem três conjuntos de quatro arestas paralelas; as arestas dentro de cada conjunto são de igual comprimento.

Os paralelepípedos resultam de transformações lineares de um cubo (para os casos não degenerados: as transformações lineares bijectivas).

Como cada face tem simetria de pontos, um paralelepípedo é um zonoedro. Também todo o paralelepípedo tem simetria de pontos Ci (ver também triclínico). Cada face é, vista de fora, a imagem de espelho da face oposta. Os rostos são em geral quirais, mas o paralelepípedo não é.

Uma pastilha de enchimento de espaço é possível com cópias congruentes de qualquer paralelepípedo.

Volume

O volume de um paralelepípedo é o produto da área de sua base A e sua altura h. A base é qualquer uma das seis faces do paralelepípedo. A altura é a distância perpendicular entre a base e a face oposta.

Um método alternativo define os vetores a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) e c = (c1, c2, c3) para representar três arestas que se encontram em um vértice. O volume do paralelepípedo é então igual ao valor absoluto do produto triplo escalar a - (b × c):

V = | a ( b × c ) | = | b ( c × a ) | = | c ( a × b ) | | {\a1}displaystyle V=esquerda|mathbf {a} |cdot (mathbf {b} |times |mathbf {c} )|direita|=esquerda|mathbf {b} \cdot (mathbf {c} {a} )right|=left|mathbf {c} \cdot (mathbf {a} {b} )right} {\displaystyle V=\left|\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )\right|=\left|\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )\right|=\left|\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\right|}

Isto é verdade porque, se escolhemos b e c para representar as bordas da base, a área da base é, por definição, o produto cruzado (ver significado geométrico do produto cruzado),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\i1}displaystyle A=esquerda|mathbf {b} \direita esquerda \direita = esquerda=esquerda \vezes matemathbf \Certo...} {\displaystyle A=\left|\mathbf {b} \right|\left|\mathbf {c} \right|\sin \theta =\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|,}

onde θ é o ângulo entre b e c, e a altura é

h = a | a | cos α , |displaystyle h=esquerda|mathbf |direita|cos |alpha ,} {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\cos \alpha ,}

onde α é o ângulo interno entre a e h.

Pela figura, podemos deduzir que a magnitude de α é limitada a 0° ≤ α < 90°. Pelo contrário, o vetor b × c pode se formar com um ângulo interno β maior que 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Nomeadamente, como b × c é paralelo a h, o valor de β é ou β = α ou β = 180° - α. Assim

cos α = ± cos β = | cos β | , {\\i1}displaystyle {\i1}cos alpha = pm {\i1}cosbeta = esquerda {\i}cosbeta {\i}direita,} {\displaystyle \cos \alpha =\pm \cos \beta =\left|\cos \beta \right|,}

e

h = | a | | cos β | . h=esquerda/esquerda/esquerda/esquerda/cos-beta/direita. } {\displaystyle h=\left|\mathbf {a} \right|\left|\cos \beta \right|.}

Concluímos que

V = A h = a | a | b × c | cos β | , {\i1}displaystyle V=Ah=esquerda|mathbf {a} right|left|mathbf {b} \vezes matemathbf \direita, esquerda, esquerda, esquerda, direita, direita...} {\displaystyle V=Ah=\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right|\left|\cos \beta \right|,}

que é, por definição do produto escalar (ou ponto), equivalente ao valor absoluto de a - (b × c), Q.E.D.

Esta última expressão é também equivalente ao valor absoluto do determinante de uma matriz tridimensional construída usando a, b e c como linhas (ou colunas):

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. } {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|.}

Isto é encontrado usando a regra de Cramer em três matrizes bidimensionais reduzidas encontradas a partir do original.

Se a, b, e c são os comprimentos das bordas em paralelepípedo, e α, β, e γ são os ângulos internos entre as bordas, o volume é

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . V=abc{\i}{1+2}cos(alpha )-cos(beta )-cos(gamma )-cos ^{2}(alpha )-cos ^{2}(beta )-cos ^{2}(gamma )-cos ^{2}(gamma )-cos } {\displaystyle V=abc{\sqrt {1+2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )-\cos ^{2}(\alpha )-\cos ^{2}(\beta )-\cos ^{2}(\gamma )\,}}.}

Tetraedro correspondente

O volume de qualquer tetraedro que compartilha três bordas convergentes de um paralelepípedo tem um volume igual a um sexto do volume desse paralelepípedo (ver prova).

Vetores que definem um paralelepípedo.Zoom
Vetores que definem um paralelepípedo.

Casos especiais

Para paralelepípedos com um plano de simetria, há dois casos:

  • tem quatro faces retangulares
  • tem duas faces rômbicas, enquanto que das outras faces, duas adjacentes são iguais e as outras duas também (os dois pares são a imagem de espelho um do outro).

Veja também monoclínico.

Um cubóide retangular, também chamado de paralelepípedo retangular ou às vezes simplesmente cubóide, é um paralelepípedo do qual todas as faces são retangulares; um cubo é um cubóide com faces quadradas.

Um romboedro é um paralelepípedo com todas as faces rômbicas; um trapézio trigonal é um romboedro com faces rômbicas congruentes.

Paralelepípedo retangularZoom
Paralelepípedo retangular

Paralelepípedo perfeito

Um paralelepípedo perfeito é um paralelepípedo com bordas de comprimento inteiro, diagonais faciais e diagonais espaciais. Em 2009, dezenas de paralelepípedos perfeitos foram mostrados como existentes, respondendo a uma pergunta aberta de Richard Guy. Um exemplo tem bordas 271, 106 e 103, diagonais faciais menores 101, 266 e 255, diagonais faciais maiores 183, 312 e 323, e diagonais espaciais 374, 300, 278 e 272.

Alguns paralelopípedos perfeitos com duas faces retangulares são conhecidos. Mas não se sabe se existe algum com todas as faces retangulares; tal caso seria chamado de um cubóide perfeito.

Parallelotope

Coxeter chamou a generalização de um paralelepípedo em dimensões mais elevadas de um paraletopo.

Especificamente no espaço n-dimensional é chamado de paraletope n-dimensional, ou simplesmente n-paraletope. Assim, um paralelogramo é um paralelogramo 2-parallelotope e um paralelepípedo é um paralelepípedo 3-parallelotope.

De modo mais geral, um paraletopo, ou paraletopo voronoi, tem facetas paralelas e congruentes opostas. Assim, um paralelóide 2-parallotopo é um paralelogramo que também pode incluir certos hexágonos, e um 3-parallotopo é um paralleloedro, incluindo 5 tipos de poliedros.

As diagonais de um n-parallelotope se interceptam em um ponto e são bissetadas por este ponto. A inversão neste ponto deixa o n-parallelotope inalterado. Veja também pontos fixos de grupos de isometria no espaço euclidiano.

As bordas irradiando de um vértice de um paraletopo k formam uma estrutura k ( v 1 , ... , v n ) {\i1}displaystyle (v_{1},}ldots ,v_{n})}{\displaystyle (v_{1},\ldots ,v_{n})} do espaço vetorial, e o paraletopo pode ser recuperado destes vetores, tomando combinações lineares dos vetores, com pesos entre 0 e 1.

O n-volume de um n-parallelotope embutido no R m ^mathbb {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}onde m ≥ n ^mgeq n ^displaystyle m ^m {\displaystyle m\geq n}pode ser computado por meio do determinante de Gram. Alternativamente, o volume é a norma do produto exterior dos vetores:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . V=esquerda V=esquerda V_1_cdots da Suécia v_direita } {\displaystyle V=\left\|v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{n}\right\|.}

Se m = n, isto corresponde ao valor absoluto do determinante dos n vetores.

Outra fórmula para calcular o volume de um n-parallelotopo P em R n ^{\i1}mathbb ^{n}} {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}V n + 1 vértices são V 0 , V 1 , ... , V n {\i1}, V_{\i}, V_{\i}ldots ,V_{\i} {\displaystyle V_{0},V_{1},\ldots ,V_{n}}é

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , estilo de jogo, [V_1], [V_1], pontos, [V_n], 1 {\displaystyle {\rm {Vol}}(P)=|{\rm {det}}\ ([V_{0}\ 1]^{\rm {T}},[V_{1}\ 1]^{\rm {T}},\ldots ,[V_{n}\ 1]^{\rm {T}})|,}

onde [ V i 1 ] {\i1}displaystyle [V_[i} 1] {\displaystyle [V_{i}\ 1]}é o vetor de linha formado pela concatenação de V i {\i}displaystyle [V_\i}} {\displaystyle V_{i}}e 1. De fato, o determinante é inalterado se [ V 0 1 ] {\i}displaystyle [V_\i} 1] {\displaystyle [V_{0}\ 1]}é subtraído de [ V i 1 ] {\i}displaystyle [V_\i} 1 {\displaystyle [V_{i}\ 1]}(i > 0), e colocar [ V 0 1 ] {\i1} {\i1} na{\displaystyle [V_{0}\ 1]} última posição apenas muda seu sinal.

Da mesma forma, o volume de qualquer n-simplexo que compartilha n bordas convergentes de um paralelogramo tem um volume igual a um 1/n! do volume desse paralelogramo.

Lexicografia

A palavra aparece como paralelipedon na tradução de Sir Henry Billingsley dos Elementos de Euclides, datada de 1570. Na edição de 1644 de seu Cursus mathematicus, Pierre Hérigone usou a grafia parallepipedum. O Oxford English Dictionary cita o paralelepípedo atual como a primeira aparição no Chorea gigantum de Walter Charleton (1663).

O Dicionário de Charles Hutton (1795) mostra o paralelepípedo e o paralelepípedo, mostrando a influência do paralelelo da forma combinada, como se o segundo elemento fosse o pipedon e não o epipedon. Noah Webster (1806) inclui a grafia do paralelepípedo. A edição de 1989 do Oxford English Dictionary descreve explicitamente o paralelepípedo (e o paralelepípedo) como formas incorretas, mas estas são listadas sem comentários na edição de 2004, e apenas pronúncias com ênfase na quinta sílaba pi (/paɪ/) são dadas.

Uma mudança longe da pronúncia tradicional escondeu a diferente divisão sugerida pelas raízes gregas, com epi- ("on") e pedon ("ground") combinando para dar epiped, um "plano" plano. Assim, as faces de um paralelepípedo são planas, com as faces opostas sendo paralelas.

Perguntas e Respostas

P: O que é um paralelepípedo?


R: Um paralelepípedo é uma figura tridimensional formada por seis paralelogramos.

P: Que outro termo é usado às vezes para se referir a um paralelepípedo?


R: O termo "rhomboid" (romboide) também é usado às vezes com o mesmo significado de "parallelepiped" (paralelepípedo).

P: Qual é a relação entre um paralelepípedo e um paralelogramo?


R: Um paralelepípedo se relaciona com um paralelogramo da mesma forma que um cubo se relaciona com um quadrado ou um cuboide se relaciona com um retângulo.

P: A definição de um paralelepípedo na geometria euclidiana inclui todos os quatro conceitos relacionados?


R: Sim, na geometria euclidiana, a definição de paralelepípedo engloba todos os quatro conceitos relacionados: paralelepípedo, paralelogramo, cubo e quadrado.

P: Qual é o contexto da geometria afim?


R: O contexto da geometria afim é aquele em que os ângulos não são diferenciados.

P: No contexto da geometria afim, quais formas estão incluídas na definição de um paralelepípedo?


R: Na geometria afim, a definição de paralelepípedo só admite paralelogramos e paralelepípedos.

P: Quais são as três definições equivalentes de um paralelepípedo?


R: Três definições equivalentes de paralelepípedo são: um poliedro com seis faces, cada uma das quais é um paralelogramo; um hexaedro com três pares de faces paralelas; e um prisma cuja base é um paralelogramo.

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