Paralelepípedo

Qualquer um dos três pares de faces paralelas pode ser visto como os planos de base do prisma. Um paralelepípedo tem três conjuntos de quatro arestas paralelas; as arestas dentro de cada conjunto são de igual comprimento.

Os paralelepípedos resultam de transformações lineares de um cubo (para os casos não degenerados: as transformações lineares bijectivas).

Como cada face tem simetria de pontos, um paralelepípedo é um zonoedro. Também todo o paralelepípedo tem simetria de pontos _Ci (ver também triclínico). Cada face é, vista de fora, a imagem de espelho da face oposta. Os rostos são em geral quirais, mas o paralelepípedo não é.

Uma pastilha de enchimento de espaço é possível com cópias congruentes de qualquer paralelepípedo.

O volume de um paralelepípedo é o produto da área de sua base A e sua altura h. A base é qualquer uma das seis faces do paralelepípedo. A altura é a distância perpendicular entre a base e a face oposta.

Um método alternativo define os vetores a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) e c = (c1, c2, c3) para representar três arestas que se encontram em um vértice. O volume do paralelepípedo é então igual ao valor absoluto do produto triplo escalar a - (b × c):

V = | a ⋅ ( b × c ) | = | b ⋅ ( c × a ) | = | c ⋅ ( a × b ) | | {\a1}displaystyle V=esquerda|mathbf {a} |cdot (mathbf {b} |times |mathbf {c} )|direita|=esquerda|mathbf {b} \cdot (mathbf {c} {a} )right|=left|mathbf {c} \cdot (mathbf {a} {b} )right}

Isto é verdade porque, se escolhemos b e c para representar as bordas da base, a área da base é, por definição, o produto cruzado (ver significado geométrico do produto cruzado),

A = | b | | c | sin θ = | b × c | , {\i1}displaystyle A=esquerda|mathbf {b} \direita esquerda \direita = esquerda=esquerda \vezes matemathbf \Certo...}

onde θ é o ângulo entre b e c, e a altura é

h = a | a | cos α , |displaystyle h=esquerda|mathbf |direita|cos |alpha ,}

onde α é o ângulo interno entre a e h.

Pela figura, podemos deduzir que a magnitude de α é limitada a 0° ≤ α < 90°. Pelo contrário, o vetor b × c pode se formar com um ângulo interno β maior que 90° (0° ≤ β ≤ 180°). Nomeadamente, como b × c é paralelo a h, o valor de β é ou β = α ou β = 180° - α. Assim

cos α = ± cos β = | cos β | , {\\i1}displaystyle {\i1}cos alpha = pm {\i1}cosbeta = esquerda {\i}cosbeta {\i}direita,}

e

h = | a | | cos β | . h=esquerda/esquerda/esquerda/esquerda/cos-beta/direita. }

Concluímos que

V = A h = a | a | b × c | cos β | , {\i1}displaystyle V=Ah=esquerda|mathbf {a} right|left|mathbf {b} \vezes matemathbf \direita, esquerda, esquerda, esquerda, direita, direita...}

que é, por definição do produto escalar (ou ponto), equivalente ao valor absoluto de a - (b × c), Q.E.D.

Esta última expressão é também equivalente ao valor absoluto do determinante de uma matriz tridimensional construída usando a, b e c como linhas (ou colunas):

V = | det [ a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ] | . {\displaystyle V=\left|\det {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{bmatrix}}\right|. }

Isto é encontrado usando a regra de Cramer em três matrizes bidimensionais reduzidas encontradas a partir do original.

Se a, b, e c são os comprimentos das bordas em paralelepípedo, e α, β, e γ são os ângulos internos entre as bordas, o volume é

V = a b c 1 + 2 cos ( α ) cos ( β ) cos ( γ ) - cos 2 ( α ) - cos 2 ( β ) - cos 2 ( γ ) . V=abc{\i}{1+2}cos(alpha )-cos(beta )-cos(gamma )-cos ^{2}(alpha )-cos ^{2}(beta )-cos ^{2}(gamma )-cos ^{2}(gamma )-cos }

Tetraedro correspondente

O volume de qualquer tetraedro que compartilha três bordas convergentes de um paralelepípedo tem um volume igual a um sexto do volume desse paralelepípedo (ver prova).

Para paralelepípedos com um plano de simetria, há dois casos:

• tem quatro faces retangulares
• tem duas faces rômbicas, enquanto que das outras faces, duas adjacentes são iguais e as outras duas também (os dois pares são a imagem de espelho um do outro).

Veja também monoclínico.

Um cubóide retangular, também chamado de paralelepípedo retangular ou às vezes simplesmente cubóide, é um paralelepípedo do qual todas as faces são retangulares; um cubo é um cubóide com faces quadradas.

Um romboedro é um paralelepípedo com todas as faces rômbicas; um trapézio trigonal é um romboedro com faces rômbicas congruentes.

Um paralelepípedo perfeito é um paralelepípedo com bordas de comprimento inteiro, diagonais faciais e diagonais espaciais. Em 2009, dezenas de paralelepípedos perfeitos foram mostrados como existentes, respondendo a uma pergunta aberta de Richard Guy. Um exemplo tem bordas 271, 106 e 103, diagonais faciais menores 101, 266 e 255, diagonais faciais maiores 183, 312 e 323, e diagonais espaciais 374, 300, 278 e 272.

Alguns paralelopípedos perfeitos com duas faces retangulares são conhecidos. Mas não se sabe se existe algum com todas as faces retangulares; tal caso seria chamado de um cubóide perfeito.

Coxeter chamou a generalização de um paralelepípedo em dimensões mais elevadas de um paraletopo.

Especificamente no espaço n-dimensional é chamado de paraletope n-dimensional, ou simplesmente n-paraletope. Assim, um paralelogramo é um paralelogramo 2-parallelotope e um paralelepípedo é um paralelepípedo 3-parallelotope.

De modo mais geral, um paraletopo, ou paraletopo voronoi, tem facetas paralelas e congruentes opostas. Assim, um paralelóide 2-parallotopo é um paralelogramo que também pode incluir certos hexágonos, e um 3-parallotopo é um paralleloedro, incluindo 5 tipos de poliedros.

As diagonais de um n-parallelotope se interceptam em um ponto e são bissetadas por este ponto. A inversão neste ponto deixa o n-parallelotope inalterado. Veja também pontos fixos de grupos de isometria no espaço euclidiano.

As bordas irradiando de um vértice de um paraletopo k formam uma estrutura k ( v 1 , ... , v n ) {\i1}displaystyle (v_{1},}ldots ,v_{n})} do espaço vetorial, e o paraletopo pode ser recuperado destes vetores, tomando combinações lineares dos vetores, com pesos entre 0 e 1.

O n-volume de um n-parallelotope embutido no R m ^mathbb onde m ≥ n ^mgeq n ^displaystyle m ^m pode ser computado por meio do determinante de Gram. Alternativamente, o volume é a norma do produto exterior dos vetores:

V = ‖ v 1 ∧ ⋯ ∧ v n ‖ . V=esquerda V=esquerda V_1_cdots da Suécia v_direita }

Se m = n, isto corresponde ao valor absoluto do determinante dos n vetores.

Outra fórmula para calcular o volume de um n-parallelotopo P em R n ^{\i1}mathbb ^{n}} V n + 1 vértices são V 0 , V 1 , ... , V n {\i1}, V_{\i}, V_{\i}ldots ,V_{\i} é

V o l ( P ) = | d e t ( [ V 0 1 ] T , [ V 1 1 ] T , ... , [ V n 1 ] T ) | , estilo de jogo, [V_1], [V_1], pontos, [V_n], 1

onde [ V i 1 ] {\i1}displaystyle [V_[i} 1] é o vetor de linha formado pela concatenação de V i {\i}displaystyle [V_\i}} e 1. De fato, o determinante é inalterado se [ V 0 1 ] {\i}displaystyle [V_\i} 1] é subtraído de [ V i 1 ] {\i}displaystyle [V_\i} 1 (i > 0), e colocar [ V 0 1 ] {\i1} {\i1} na última posição apenas muda seu sinal.

Da mesma forma, o volume de qualquer n-simplexo que compartilha n bordas convergentes de um paralelogramo tem um volume igual a um 1/n! do volume desse paralelogramo.

A palavra aparece como paralelipedon na tradução de Sir Henry Billingsley dos Elementos de Euclides, datada de 1570. Na edição de 1644 de seu Cursus mathematicus, Pierre Hérigone usou a grafia parallepipedum. O Oxford English Dictionary cita o paralelepípedo atual como a primeira aparição no Chorea gigantum de Walter Charleton (1663).

O Dicionário de Charles Hutton (1795) mostra o paralelepípedo e o paralelepípedo, mostrando a influência do paralelelo da forma combinada, como se o segundo elemento fosse o pipedon e não o epipedon. Noah Webster (1806) inclui a grafia do paralelepípedo. A edição de 1989 do Oxford English Dictionary descreve explicitamente o paralelepípedo (e o paralelepípedo) como formas incorretas, mas estas são listadas sem comentários na edição de 2004, e apenas pronúncias com ênfase na quinta sílaba pi (/paɪ/) são dadas.

Uma mudança longe da pronúncia tradicional escondeu a diferente divisão sugerida pelas raízes gregas, com epi- ("on") e pedon ("ground") combinando para dar epiped, um "plano" plano. Assim, as faces de um paralelepípedo são planas, com as faces opostas sendo paralelas.