Identidade (matemática)

Para outros sentidos desta palavra, ver identidade.

Em matemática, o termo identidade tem vários usos importantes:

  • Uma identidade é uma igualdade que permanece verdadeira mesmo se você mudar todas as variáveis que são usadas nessa igualdade.

Uma igualdade no sentido matemático só é verdadeira sob condições mais particulares. Para isso, o símbolo ≡ é às vezes utilizado. (Entretanto, isto pode levar a mal-entendidos, já que o mesmo símbolo também pode ser usado para uma relação de congruência).

Exemplos

Relação de identidade

Um exemplo comum do primeiro significado é a identidade trigonométrica

sin 2 θ + cos 2 θ = 1 {\i1}sin =1,{2}theta +\i}theta =1,{2} {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,}

o que é verdade para todos os valores reais do θ {\displaystyle \theta }(uma vez que os números reais R {\i1}displaystyle {\i1} {\displaystyle {\mathbb {R}}}são o domínio do pecado e cos), em oposição a

cos θ = 1 , {\postos =1,{\postos =1,} {\displaystyle \cos \theta =1,\,}

o que é verdade somente para valores do θ {\displaystyle \theta }em um subconjunto do domínio.

Elemento de identidade

Os conceitos de "identidade aditiva" e "identidade multiplicativa" são centrais para os axiomas Peano. O número 0 é a "identidade aditiva" para números inteiros, números reais e números complexos. Para os números reais, para todos os números ∈ R , no estilo "aplaystyle a" em "mathbb",{R},} {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}

0 + a = a , {\\i1}displaystyle 0+a=a,\i,} {\displaystyle 0+a=a,\,}

a + 0 = a , {\i1}displaystyle a+0=a,\i,} {\displaystyle a+0=a,\,}e

0 + 0 = 0. {\\i1}- estilo de exibição 0+0=0,{\i0,} {\displaystyle 0+0=0.\,}

Da mesma forma, o número 1 é a "identidade multiplicativa" para números inteiros, números reais e números complexos. Para os números reais, para todos os números ∈ R , no estilo de exibição a em Matebb {\displaystyle a\in {\mathbb {R}},}

1 × a = a , {\a,} 1 vezes a=a,{\a,} {\displaystyle 1\times a=a,\,}

a × 1 = a , {\\i1}displaystyle a=a,{\i} {\displaystyle a\times 1=a,\,}e

1 × 1 = 1. 1=1.{\i1=1.\i} {\displaystyle 1\times 1=1.\,}

Função de identidade

Um exemplo comum de uma função de identidade é a permutação de identidade, que envia cada elemento do conjunto { 1 , 2 , ... , n } estilo de jogo 1,2,pontos,{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}

Comparação

Estes significados não são mutuamente exclusivos; por exemplo, a permutação de identidade é o elemento de identidade no conjunto de permutações de { 1 , 2 , ... , n } estilo de jogo 1,2,pontos, n.d{\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}. em composição.


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