Unidade imaginária

Em matemática, unidades imaginárias, ou i, são números que podem ser representados por equações, mas referem-se a valores que não poderiam existir fisicamente na vida real. A definição matemática de uma unidade imaginária é i = - 1 {\sqrt {-1}}}. {\displaystyle i={\sqrt {-1}}}que tem a propriedade i × i = i 2 = - 1 {\\i1}- i=i^{\i}=-1}{\displaystyle i\times i=i^{2}=-1} .

A razão pela qual fui criado foi para responder a uma equação polinomial, x 2 + 1 = 0 ^{\\i1}x^{\i}+1=0} {\displaystyle x^{2}+1=0}que normalmente não tem solução, uma vez que o valor de x 2 ^{\i1}{\displaystyle x^{2}} teria de ser igual a -1. Embora o problema seja resolúvel, a raiz quadrada de -1 não poderia ser representada por uma quantidade física de qualquer objeto na vida real.

Raiz quadrada de i

Às vezes se supõe que se deve criar outro número para mostrar a raiz quadrada de i, mas isso não é necessário. A raiz quadrada de i pode ser escrita como: i = ± 2 2 ( 1 + i ) {\i} {\i}=pm {\i} {\i} {\i} {\i}(1+i} {\i} {\i} {\i} {\i} {\i1}{\displaystyle {\sqrt {i}}=\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)}.
Isto pode ser mostrado como:

( ± 2 2 ( 1 + i ) ) 2 Estilo de exibição Esquerda(2) ( 1+i ) {\displaystyle \left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\right)^{2}\ }

= 2 ( 1 + i ) 2 Estilo de exibição = esquerda(2) {\displaystyle =\left(\pm {\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)^{2}(1+i)^{2}\ }

= ( ± 1 ) 2 2 2 4 ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\i1}{\i1}(2}{\i1}(1+i)(1+i) ^{\i}(1+i) {\displaystyle =(\pm 1)^{2}{\frac {2}{4}}(1+i)(1+i)\ }

= 1 × 1 2 ( 1 + 2 i + i 2 ) ( i 2 = - 1 ) {\i1}{\i1}(1+2i+i^{\i})|quad (i^{2}=-1){\i} {\displaystyle =1\times {\frac {1}{2}}(1+2i+i^{2})\quad \quad (i^{2}=-1)\ }

= 1 2 ( 2 i ) {\i} {\i1}(2i)}(2i)}(2i)}(2i){\i} {\displaystyle ={\frac {1}{2}}(2i)\ }

= i {\an8} i {\an8}displaystyle =i{\an8} {\displaystyle =i\ }



Poderes do i

Os poderes do i seguem um padrão previsível:

i - 3 = i ^{-3}=i} {\displaystyle i^{-3}=i}

i - 2 = - 1 ^{-2}=-1} {\displaystyle i^{-2}=-1}

i - 1 = - i ^{-1}=-i} {\displaystyle i^{-1}=-i}

i 0 = 1 ^{0}=1} {\displaystyle i^{0}=1}

i 1 = i ^{1}i} i ^{1}displaystyle {\displaystyle i^{1}=i}

i 2 = - 1 ^{2}=-1} {\displaystyle i^{2}=-1}

i 3 = - i ^{3}=-i} {\displaystyle i^{3}=-i}

i 4 = 1 ^{\4}=1} {\displaystyle i^{4}=1}

i 5 = i ^{5}=i} {\displaystyle i^{5}=i}

i 6 = - 1 ^{6}=-1} {\displaystyle i^{6}=-1}

Isto pode ser mostrado com o seguinte padrão onde n é qualquer número inteiro:

i 4 n = 1 ^{4n}=1} {\displaystyle i^{4n}=1}

i 4 n + 1 = i ^{4n+1}=i} {\displaystyle i^{4n+1}=i}

i 4 n + 2 = - 1 ^{4n+2}=-1} {\displaystyle i^{4n+2}=-1}

i 4 n + 3 = - i ^{4n+3}=-i} {\displaystyle i^{4n+3}=-i}

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