Momento polar de inércia

Nota: As diferentes disciplinas utilizam o termo momento de inércia para se referirem a diferentes momentos. Em física, momento de inércia é estritamente o segundo momento de massa em relação à distância de um eixo, que caracteriza a aceleração angular de um objecto devido a um torque aplicado. Na engenharia (especialmente mecânica e civil), o momento de inércia refere-se normalmente ao segundo momento da área. Ao ler o momento polar de inércia tenha o cuidado de verificar se se refere ao "segundo momento polar da área" e não ao momento de inércia. O segundo momento polar da área terá unidades de comprimento até à quarta potência (p.ex. m 4 {\\i1}} $m^{4}$ ou i n 4 {\i1} $in^{4}$ , enquanto que o momento de inércia é massa vezes comprimento ao quadrado (p.ex. k g ∗ m 2 {\i1 {\i1}} $kg*m^{2}$ ou l b ∗ i n 2 {\i1 {\i1} {\i1} {\i1}}. $lb*in^{2}$ ).

O segundo momento polar da área (também referido como "momento polar de inércia") é uma medida da capacidade de um objecto de resistir à torção em função da sua forma. É um aspecto do segundo momento de área ligado através do teorema do eixo perpendicular, em que o segundo momento planar da área utiliza a forma transversal de um feixe para descrever a sua resistência à deformação (flexão) quando sujeito a uma força aplicada num plano paralelo ao seu eixo neutro, o segundo momento polar da área utiliza a forma transversal de um feixe para descrever a sua resistência à deformação (torção) quando um momento (binário) é aplicado num plano perpendicular ao eixo neutro do feixe. Enquanto o segundo momento planar de área é mais frequentemente denotado pela letra, I {\displaystyle I} , o segundo momento polar de área é mais frequentemente denotado por qualquer um dos dois, I z {\displaystyle I_{z}}}. $I_{z}$ ou a carta, J estilo J $J$ , em livros de engenharia.

Os valores calculados para o segundo momento polar da área são mais frequentemente utilizados para descrever a resistência de um eixo cilíndrico sólido ou oco à torção, como no eixo ou eixo motor de um veículo. Quando aplicados a vigas ou eixos não cilíndricos, os cálculos para o segundo momento de área polar tornam-se errados devido ao empenamento do eixo/da viga. Nestes casos, deve ser utilizada uma constante de torção, em que uma constante correccional é adicionada ao cálculo do valor.

O segundo momento polar da área transporta as unidades de comprimento para a quarta potência ( L 4 ^{{4}} $L^{4}$ ); metros para a quarta potência ( m 4 ^{4}} $m^{4}$ ) no sistema de unidades métricas, e polegadas para a quarta potência ( i n 4 $in^{4}$ ^4 ^4 ^4 ^4 ^4 ^4 ^4 ^4 ^4 ^) no sistema de unidades imperiais. A fórmula matemática para o cálculo directo é dada como um integral múltiplo sobre a área de uma forma, R {\i1} estilo R}. $R$ à distância ρ {\i1}displaystyle $\rho$ O {\i1}displaystyle O}displaystyle $O$

J O = ∬ R ρ 2 d A {\\i1}displaystyle J_{\i}==não há limites _{\i}rho ^{\i}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$ .

Na forma mais simples, o segundo momento polar da área é uma soma dos dois segundos momentos planares da área, I x estilo I_{x}} $I_{x}$ e I y y estilo I_y}. $I_{y}$ . Usando o teorema de Pitágoras, a distância do eixo O {\\i1}displaystyle O $O$ , ρ {\i1}displaystyle {\i}rho $\rho$ pode ser quebrada nos seus $y$ componentes x $x$ e y, e a mudança de área, d A {\i1}displaystyle dA} $dA$ , quebrados nos seus $y$ componentes x estilo x $x$ e y estilo y, d x estilo dx $dx$ e d y estilo dy $dy$ .

Dadas as duas fórmulas para os segundos momentos planares da área:

I x = ∬ R x 2 d x d y {\i1}displaystyle I_{x}==não há limites _{R}x^{2}dxdy} $I_{x}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy$ , e I y = ∬ R y 2 d x d y {\i1}displaystyle I_{\i}==iint Limites _{\i}y^{\i}dxdy $I_{y}=\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

A relação com o segundo momento polar da área pode ser mostrada como:

J O = ∬ R ρ 2 d A {\\i1}displaystyle J_{\i}==não há limites _{\i}rho ^{\i}dA} $J_{O}=\iint \limits _{R}\rho ^{2}dA$

J O = ∬ R ( x 2 + y 2 ) d x d y {\\i1}===limites _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy} $J_{O}=\iint \limits _{R}(x^{2}+y^{2})dxdy$

J O = ∬ R x 2 d x d y + ∬ R y 2 d x d y {\i1}displaystyle J_{\i}==não há limites _{R}x^{2}dxdy+iint {\i}limites _{R}y^{2}dxdy $J_{O}=\iint \limits _{R}x^{2}dxdy+\iint \limits _{R}y^{2}dxdy$

∴ J = I x + I y {\i1}displaystyle {\i}}therefore J=I_{x}+I_{y}} $\therefore J=I_{x}+I_{y}$

Em essência, à medida que a magnitude do segundo momento polar da área aumenta (ou seja, a forma transversal do objecto grande), será necessário mais binário para provocar uma deflexão torcional do objecto. Contudo, deve notar-se que isto não tem qualquer relação com a rigidez de torção fornecida a um objecto pelos seus materiais constituintes; o segundo momento de área polar é simplesmente rigidez fornecida a um objecto apenas pela sua forma. A rigidez de torção fornecida pelas características do material é conhecida como o módulo de cisalhamento, G {\displaystyle G} $G$ . Ligando estes dois componentes de rigidez, é possível calcular o ângulo de torção de uma viga, θ {\displaystyle {\displaystyle {\displaystyle } $\theta$ utilizando:

θ = T l J G G {\\i1}displaystyle {\i} ={\i1}frac {\i}{JG}} $\theta ={\frac {Tl}{JG}}$

Onde T {\displaystyle T} $T$ é o momento aplicado (torque) e l {\displaystyle l} $l$ é o comprimento da viga. Como mostrado, binários e comprimentos de feixe mais elevados levam a deflexões angulares mais elevadas, onde valores mais elevados para o segundo momento polar da área, J {\displaystyle J} $J$ e módulo de cisalhamento de material, estilo G $G$ reduz o potencial de deflexões angulares.

Um esquema que mostra como o segundo momento polar da área ("Momento Polar da Inércia") é calculado para uma forma arbitrária da área, R, sobre um eixo o, onde ρ é a distância radial ao elemento dA.

Páginas relacionadas

Momento (física)
Segundo momento da área
Lista de segundos momentos de área para formas padrão
Módulo de cisalhamento

Perguntas e Respostas

P: Qual é o momento de inércia na Física?

R: Em física, o momento de inércia é estritamente o segundo momento de massa em relação à distância de um eixo, que caracteriza a aceleração angular de um objeto devido a um torque aplicado.

P: A que se refere o segundo momento de área polar na engenharia?

R: Em engenharia (especialmente mecânica e civil), o momento de inércia comumente se refere ao segundo momento da área. Ao ler o momento de inércia polar, tome cuidado para verificar se ele se refere ao "segundo momento polar da área" e não ao momento de inércia. O segundo momento polar da área terá unidades de comprimento até a quarta potência (por exemplo, m^4 ou in^4).

P: Como o senhor calcula um segundo momento polar de área?

R: A fórmula matemática para cálculo direto é dada como um integral múltiplo sobre a área de uma forma, R, a uma distância ρ de um eixo arbitrário O. J_O=∬Rρ2dA. Na forma mais simples, o segundo momento polar