A identidade de Euler

A identidade de Euler, por vezes chamada equação de Euler, é esta equação:

e i π + 1 = 0 ^{\i} e^{\i}+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

π $\pi$ , pi

π ≈ 3.14159 {\i1}displaystyle {\i}approx 3.14159 $\pi \approx 3.14159$

e e estilo de jogo e $e$ , Número de Euler

e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\apx 2.71828} $e\approx 2.71828$

i {\displaystyle i} $i$ , unidade imaginária

ı = √ - 1 {\\i1}displaystyle {\i1}imath ==surd {\i} $\imath =\surd {-1}$

A identidade de Euler tem o nome do matemático suíço Leonard Euler. Não é claro que tenha sido ele próprio a inventá-la.

Os inquiridos de uma sondagem do Physics World chamaram à identidade "a afirmação matemática mais profunda alguma vez escrita", "espantosa e sublime", "cheia de beleza cósmica" e "estonteante".

Prova matemática da identidade de Euler usando a série Taylor

Muitas equações podem ser escritas como uma série de termos adicionados em conjunto. A isto chama-se uma série Taylor

A função Exponencial e x ^{\i}} $e^{x}$ pode ser escrita como a série Taylor

e x = 1 + x + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ x n n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \sobre {2!}+{x^{3}} \sobre {3!}+{x^{4}} \sobre _4!cdots =sum _k=0}^{x^{n}{x^{n} \sobre n!}} $e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}$

Também, Sine pode ser escrito como

pecado x = x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\\\i1}sin {x}=x-{x^{3} \sobre 3!}+{x^{5} \sobre 5!^{x^{7}-{x^{7} \sobre 7!cdots =sum _{k=0}^{(-1)^{n}{(-1)^{n} \sobre (2n+1)!}{x^{2n+1}}}{x^{2n+1}} $\sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}$

e Cosine como

cos x = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! ⋯ = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\\\i1 {\i1}=1-{\i^{\i} \sobre 2!}+{x^{4} \sobre 4!^{x^{6}-{x^{6} \mais de 6!cdots ==sum _{k=0}^{(-1)^{n}{(-1)^{n} \sobre (2n)!}{x^{2n}}}{x^{2n}} $\cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}$

Aqui, vemos um padrão tomar forma. e x e^{x}} $e^{x}$ parece ser uma soma da série Taylor seno e coseno, excepto com todos os sinais mudados para positivo. A identidade que estamos realmente a provar é e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i{sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ .

Portanto, do lado esquerdo está e^{\i} e^{ix} $e^{ix}$ cuja série Taylor é 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! ⋯ {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \mais de 2!^{ix^{3}-{ix^{3} \sobre 3!}+{x^{4} \sobre 4!^+{ix^{5} \mais de 5!cdots} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Podemos ver aqui um padrão, que cada segundo termo é um termo seno, e que os outros termos são termos cosseno.

Do lado direito está cos ( x ) + i peco ( x ) {\i1}estilo de jogo {\i(x)+i(x)sin(x)} $\cos(x)+i\sin(x)$ , cuja série Taylor é a série Taylor de co-seno, mais i vezes a série Taylor de seno, que pode ser mostrada como:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ⋯ ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ⋯ ) {\i1} {\i1}displaystyle (1-{x^{2} {\i} {x^4} {x^4} {\i}cdots )+(ix-{ix^{3} {\i} {x^5} {x^5} {x^5}cdots )} $(1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )$

se os somarmos juntos, temos

1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 5 ! ⋯ {\\displaystyle 1+ix-{x^{2} \mais de 2!^{ix^{3}-{ix^{3} \sobre 3!}+{x^{4} \sobre 4!^+{ix^{5} \mais de 5!cdots} $1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots$

Por conseguinte:

e i x = cos ( x ) + i peco ( x ) {\i1} {\i1}==cos(x)+i-sin(x)} $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$

Agora se substituirmos x por π $\pi$ temos...

e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\i} {\i} {\i} = cos ( π ) + i sin ( π ) {\i} {\i} +i sin(\i} {\i} $e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )$

Então sabemos que

cos ( π ) = - 1 {\\i1}displaystyle {\i} =-1} $\cos(\pi )=-1$

pecado ( π ) = 0 {\i} =0} $\sin(\pi )=0$

Por conseguinte:

e i π = 0 - 1 e^{\i}=0-1} $e^{i\pi }=0-1$
e i π + 1 = 0 ^{\i} e^{\i}+1=0} $e^{i\pi }+1=0$

QED

Perguntas e Respostas

P: Qual é a identidade de Euler?

R: A identidade de Euler, às vezes chamada de equação de Euler, é uma equação que apresenta a constante matemática pi, o número de Euler e a unidade imaginária junto com três das operações matemáticas básicas (adição, multiplicação e exponenciação). A equação é e^(i*pi) + 1 = 0.

P: Quem era Leonard Euler?

R: Leonard Euler era um matemático suíço para o qual a identidade é nomeada. Não está claro se ele mesmo a inventou.

P: Quais são algumas das reações à identidade de Euler?

R: Os que responderam a uma pesquisa do Physics World chamaram a identidade de "a afirmação matemática mais profunda jamais escrita", "espantosa e sublime", "cheia de beleza cósmica" e "estonteante".

P: Quais são algumas das constantes apresentadas nessa equação?

R: As constantes apresentadas nesta equação são pi (aproximadamente 3,14159), número de Euler (aproximadamente 2,71828) e uma unidade imaginária (igual a -1).

P: Quais são algumas das operações que figuram nesta equação?

R: As operações apresentadas nesta equação são adição, multiplicação e exponenciação.

P: Como podemos expressar pi matematicamente?

R: Pi pode ser expresso matematicamente como π ≈ 3.14159 {\pi \pi Aproximadamente 3.14159}.

P: Como podemos expressar matematicamente o número de Euler? R: O número de Euler pode ser expresso matematicamente como e ≈ 2.71828 {\i1}displaystyle e aprox. 2.71828}.