A identidade de Euler

A identidade de Euler, por vezes chamada equação de Euler, é esta equação:

e i π + 1 = 0 ^{\i} e^{\i}+1=0} {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

π ≈ 3.14159 {\i1}displaystyle {\i}approx 3.14159 {\displaystyle \pi \approx 3.14159}

e ≈ 2.71828 {\displaystyle e\apx 2.71828} {\displaystyle e\approx 2.71828}

ı = √ - 1 {\\i1}displaystyle {\i1}imath ==surd {\i} {\displaystyle \imath =\surd {-1}}

A identidade de Euler tem o nome do matemático suíço Leonard Euler. Não é claro que tenha sido ele próprio a inventá-la.

Os inquiridos de uma sondagem do Physics World chamaram à identidade "a afirmação matemática mais profunda alguma vez escrita", "espantosa e sublime", "cheia de beleza cósmica" e "estonteante".




Prova matemática da identidade de Euler usando a série Taylor

Muitas equações podem ser escritas como uma série de termos adicionados em conjunto. A isto chama-se uma série Taylor

A função Exponencial e x ^{\i}} {\displaystyle e^{x}}pode ser escrita como a série Taylor

e x = 1 + x + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + x 4 4 ! = ∑ k = 0 ∞ x n n n ! {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \sobre {2!}+{x^{3}} \sobre {3!}+{x^{4}} \sobre _4!cdots =sum _k=0}^{x^{n}{x^{n} \sobre n!}} {\displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} \over {2!}}+{x^{3} \over {3!}}+{x^{4} \over {4!}}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}}

Também, Sine pode ser escrito como

pecado x = x - x 3 3 3 ! + x 5 5 ! - − x 7 7 ! = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 {\\\i1}sin {x}=x-{x^{3} \sobre 3!}+{x^{5} \sobre 5!^{x^{7}-{x^{7} \sobre 7!cdots =sum _{k=0}^{(-1)^{n}{(-1)^{n} \sobre (2n+1)!}{x^{2n+1}}}{x^{2n+1}} {\displaystyle \sin {x}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n+1)!}{x^{2n+1}}}

e Cosine como

cos x = 1 - x 2 2 2 ! + x 4 4 ! - − x 6 6 ! = ∑ k = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n {\\\i1 {\i1}=1-{\i^{\i} \sobre 2!}+{x^{4} \sobre 4!^{x^{6}-{x^{6} \mais de 6!cdots ==sum _{k=0}^{(-1)^{n}{(-1)^{n} \sobre (2n)!}{x^{2n}}}{x^{2n}} {\displaystyle \cos {x}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }{(-1)^{n} \over (2n)!}{x^{2n}}}

Aqui, vemos um padrão tomar forma. e x e^{x}}{\displaystyle e^{x}} parece ser uma soma da série Taylor seno e coseno, excepto com todos os sinais mudados para positivo. A identidade que estamos realmente a provar é e i x = cos ( x ) + i sin ( x ) {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i{sin(x)}{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)} .

Portanto, do lado esquerdo está e^{\i} e^{ix} {\displaystyle e^{ix}}cuja série Taylor é 1 + i x - x 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 ! {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \mais de 2!^{ix^{3}-{ix^{3} \sobre 3!}+{x^{4} \sobre 4!^+{ix^{5} \mais de 5!cdots} {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

Podemos ver aqui um padrão, que cada segundo termo é um termo seno, e que os outros termos são termos cosseno.

Do lado direito está cos ( x ) + i peco ( x ) {\i1}estilo de jogo {\i(x)+i(x)sin(x)} {\displaystyle \cos(x)+i\sin(x)}, cuja série Taylor é a série Taylor de co-seno, mais i vezes a série Taylor de seno, que pode ser mostrada como:

( 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! ) + ( i x - i x 3 3 ! + i x 5 5 ! ) {\i1} {\i1}displaystyle (1-{x^{2} {\i} {x^4} {x^4} {\i}cdots )+(ix-{ix^{3} {\i} {x^5} {x^5} {x^5}cdots )} {\displaystyle (1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}\cdots )+(ix-{ix^{3} \over 3!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots )}

se os somarmos juntos, temos

1 + i x - x 2 2 2 ! - i x 3 3 3 ! + x 4 4 ! + i x 5 5 5 ! {\\displaystyle 1+ix-{x^{2} \mais de 2!^{ix^{3}-{ix^{3} \sobre 3!}+{x^{4} \sobre 4!^+{ix^{5} \mais de 5!cdots} {\displaystyle 1+ix-{x^{2} \over 2!}-{ix^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+{ix^{5} \over 5!}\cdots }

Por conseguinte:

e i x = cos ( x ) + i peco ( x ) {\i1} {\i1}==cos(x)+i-sin(x)} {\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)}

Agora se substituirmos x por π {\displaystyle \pi }temos...

  • e i π = cos ( π ) + i sin ( π ) {\i} {\i} {\i} = cos ( π ) + i sin ( π ) {\i} {\i} +i sin(\i} {\i} {\displaystyle e^{i\pi }=\cos(\pi )+i\sin(\pi )}

Então sabemos que

  • cos ( π ) = - 1 {\\i1}displaystyle {\i} =-1} {\displaystyle \cos(\pi )=-1}

e

  • pecado ( π ) = 0 {\i} =0} {\displaystyle \sin(\pi )=0}

Por conseguinte:

  • e i π = 0 - 1 e^{\i}=0-1} {\displaystyle e^{i\pi }=0-1}
  • e i π + 1 = 0 ^{\i} e^{\i}+1=0} {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

QED


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