Série Taylor

Uma série Taylor é uma idéia usada em informática, cálculo, química, física e outros tipos de matemática de nível superior. É uma série que é usada para criar uma estimativa (adivinhe) de como uma função se parece. Há também um tipo especial de série Taylor chamada série Maclaurin.

A teoria por trás da série Taylor é que se um ponto é escolhido no plano de coordenadas (eixos x e y), então é possível adivinhar como será uma função na área ao redor daquele ponto. Isto é feito pegando as derivadas da função e somando todas elas. A idéia é que é possível adicionar o número infinito de derivadas e chegar a uma única soma finita.

Em matemática, uma série Taylor mostra uma função como a soma de uma série infinita. Os termos da soma são extraídos dos derivados da função. A série Taylor vem do teorema de Taylor.

Uma animação que mostra como uma série Taylor pode ser usada para aproximar uma função. A linha azul mostra a função exponencial f ( x ) = e x {\\i1}f(x)=e^{x}}} $f(x)=e^{x}$ . As linhas vermelhas mostram a soma de n derivados - ou seja, n+1 termos da série Taylor. Conforme n fica maior, a linha vermelha se aproxima da linha azul.

História

O antigo filósofo grego Zeno de Elea surgiu pela primeira vez com a idéia desta série. O paradoxo chamou de "o parodoxismo do zeno" o resultado. Ele acreditava que seria impossível adicionar um número infinito de valores e obter um único valor finito como resultado.

Outro filósofo grego, Aristóteles, deu uma resposta à questão filosófica. Foi Arquimedes, no entanto, quem encontrou uma solução matemática usando seu método de exaustão. Ele foi capaz de provar que, quando algo é dividido em um número infinito de pequenos pedaços, eles ainda somarão um único todo quando todos eles forem novamente somados. O antigo matemático chinês Liu Hui provou a mesma coisa várias centenas de anos mais tarde.

Os primeiros exemplos conhecidos da série Taylor são o trabalho de Mādhava de Sañgamāgrama na Índia nos anos 1300s. Mais tarde os matemáticos indianos escreveram sobre seu trabalho com as funções trigonométricas de seno, coseno, tangente e arctangente. Nenhum dos escritos ou registros do Mādhava ainda existe hoje. Outros matemáticos basearam seu trabalho nas descobertas de Mādhava e trabalharam mais com estas séries até os anos 1500.

James Gregory, um matemático escocês, trabalhou nesta área nos anos 1600. Gregory estudou a série Taylor e publicou várias séries Maclaurin. Em 1715, Brook Taylor descobriu um método geral para aplicar a série a todas as funções. (Todas as pesquisas anteriores mostraram como aplicar o método apenas a funções específicas). Colin Maclaurin publicou um caso especial da série Taylor na década de 1700. Esta série, que é baseada em torno de zero, é chamada de série Maclaurin.

Definição

Uma série Taylor pode ser usada para descrever qualquer função ƒ(x) que seja uma função suave (ou, em termos matemáticos, "infinitamente diferenciável"). A função ƒ pode ser real ou complexa. A série Taylor é então usada para descrever como a função é na vizinhança de algum número a.

Esta série Taylor, escrita como uma série de potências, parece ser:

f ( a ) + f ′ ( a ) 1 ! ( x - a ) + f ″ ( a ) 2 ! ( x - a ) 2 + f ( 3 ) ( a ) 3 ! ( x - a ) 3 + ⋯ . f(a)+frac {f'(a)}{1!}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}(x-a)^{2}+{\frac ^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^{3}+cdots . } $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .$

Esta fórmula também pode ser escrita em notação sigma como:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( a ) n ! ( x - a ) n ^sum _{n=0} ^^frac ^{(n)}(a){n!^,(x-a)^{n}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}$

Aqui o n! é o fatorial do n. ƒ ⁽ⁿ⁾(a) é o nth derivado de ƒ no ponto a. a {\i1}a {\i1} é um número no domínio da função. Se a série Taylor de uma função for igual a essa função, a função é chamada de "função analítica".

Série Maclaurin

Quando a = 0 {\\i1}a = 0 {\i1} $a=0$ A função é chamada de série Maclaurin. A série Maclaurin, escrita como uma série de potências, tem o mesmo aspecto:

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) 1 ! x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ( 3 ) ( 0 ) 3 ! x 3 + ⋯ . f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {\f^{(3)}(0)}{3!}x^{3}+cdots . } $f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{(3)}(0)}{3!}}x^{3}+\cdots .$

Quando escrita em notação sigma, a série Maclaurin é:

∑ n = 0 ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n {\\i1}sum _{n=0}^{\i}{frac {f^{(n)}(0){n!}{n!x^{n}}} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}$

Série Taylor comum

Algumas séries importantes de Taylor e Maclaurin são as seguintes.

sin x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 = x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - ⋯ para todos os x {\\\i1}sin x=sum _{\n=0}^{\i}{\i1}{(-1)^{\i}{(2n+1)!}x^{\i+1}=x-{\i}frac {\i}{\i}{\i}{\i1}+{\i}frac {\i}{\i}{(-1)^{\i}-cdots {\i}-texto {\i}x! } $\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

cos x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n = 1 - x 2 2 ! + x 4 4 ! - ⋯ para todos os x {\displaystyle \cos x=sum _{n=0}^{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}+{\frac {x^{4}}{4!}-cdots {\displaystyle {\displaystyle }=1-{\frac {x^{2}}{2!} } $\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!$

sinh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 para todos os x {\\i1}x^^{\i1}sinh(x)=sum _{\i=0}^{\i}{\i1}frac {\i}{\i(2n+1)!^{\i+1}x^{\i+2n+1}{\i}x! } $\sinh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1}{\text{ for all }}x\!$

cosh ( x ) = ∑ n = 0 ∞ 1 ( 2 n ) ! x 2 n para todos os x {\posh(x)=sum _{n=0}^{\posh}{1}{(2n)!^x^{2n}{\posh}{\posh}x^2n! } $\cosh(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for all }}x\!$

e x = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! x n = 1 + x + 1 2 ! x 2 + 1 3 ! x 3 + ⋯ para todos os e^{\i1}{x}=sum _{n=0}^{\i}{\i1}frac {1}{n!}x^{n}=1+x+{\i}frac {1}{2!}x^{2}+{\i}frac {1}{3!}x^{3}+cdots {\i}xxtxt{\i}x! } $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}x^{n}=1+x+{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{3!}}x^{3}+\cdots {\text{ for all }}x\!$

1 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 + ⋯ para todos | x | < 1 {\i1}{1-x}}=sum _{n=0}^{\i}x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\i}cdots {\i}{\i1}x|x||||cdots ${\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+\cdots {\text{ for all }}|x|<1$

ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n x n para todos | x | < 1 {\\i1}{\i1+x)==sum _{\i=1}^{\i}{\i}frac {(-1)^{\i+1}}{\i}x^{\i}{\i}{\i}{\i1}xxtxtra $\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ for all }}|x|<1$

tan x = ∑ n = 1 ∞ B 2 n ( - 4 ) n ( 1 - 4 n ) ( 2 n ) ! x 2 n - 1 = x + x 3 3 + 2 x 5 15 + ⋯ para | x | < π 2 {\displaystyle \tan x==sum _{\n=1}^{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!x^{2n-1}=x+frac {x^{3}{3}+frac {2x^{5}}{15}+cdots {\i1}texto {\i}x|x|<{\i}frac {2}! } $\tan x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!$

Onde B n {\displaystyle B_{n} $B_{n}$ é o n.º Bernoulli, e ln {\displaystyle {ln $\ln$ é o logaritmo natural.

Perguntas e Respostas

P: O que é uma série Taylor?

R: Uma série de Taylor é uma ideia usada em ciência da computação, cálculo, química, física e outros tipos de matemática de nível superior. É uma série usada para criar uma estimativa (palpite) da aparência de uma função.

P: Qual é a diferença entre a série de Taylor e a série de Maclaurin?

R: Há também um tipo especial de série de Taylor chamado série de Maclaurin.

P: Qual é a teoria por trás da série de Taylor?

R: A teoria por trás da série de Taylor é que, se um ponto for escolhido no plano de coordenadas (eixos x e y), é possível adivinhar como será uma função na área em torno desse ponto.

P: Como a função é criada usando a série de Taylor?

R: Isso é feito tomando-se as derivadas da função e somando-as todas. A ideia é que é possível adicionar o número infinito de derivadas e obter uma única soma finita.

P: O que uma série de Taylor mostra em matemática?

R: Em matemática, uma série de Taylor mostra uma função como a soma de uma série infinita. Os termos da soma são retirados das derivadas da função.

P: Qual é a origem da série de Taylor?

R: A série de Taylor vem do teorema de Taylor.

P: Em que campos a série de Taylor é comumente usada?

R: A série de Taylor é comumente usada em ciência da computação, cálculo, química, física e outros tipos de matemática de nível superior.