As equações de Maxwell

Autor: Leandro Alegsa Data de criação: 28 de fevereiro de 2021

Nos anos 1860, James Clerk Maxwell publicou equações que descrevem como partículas carregadas dão origem a força elétrica e magnética por unidade de carga. A força por unidade de carga é chamada de campo. As partículas podem estar estacionárias ou em movimento. Estas, juntamente com a equação de força de Lorentz, fornecem tudo o que se precisa para calcular o movimento das partículas clássicas em campos elétricos e magnéticos.

As equações de Maxwell descrevem como as cargas elétricas e correntes elétricas criam campos elétricos e magnéticos. Além disso, elas descrevem como um campo elétrico pode gerar um campo magnético, e vice-versa.

A primeira equação permite calcular o campo elétrico criado por uma carga. A segunda permite calcular o campo magnético. As outras duas descrevem como os campos 'circulam' em torno de suas fontes. Campos magnéticos 'circulam' ao redor de correntes elétricas e campos elétricos com tempo variável, lei de Ampère com a correção de Maxwell, enquanto campos elétricos 'circulam' ao redor de campos magnéticos com tempo variável, lei de Faraday.

As Equações de Maxwell nas formas clássicas

Nome	Forma diferencial	Forma integral
A lei de Gauss:	∇ ⋅ D = ρ {\i1}displaystyle {\i}nabla {\i}mathbf {D} =rho {\i} $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$	∮ S D ⋅ d A = ∫ V ρ ⋅ d V {\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i} \cdot d\mathbf {A} =int _{V}rho {V}cdot dV} $\oint _{S}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\int _{V}\rho \cdot dV$
Lei de Gauss para o magnetismo (ausência de monopólios magnéticos):	∇ ⋅ B = 0 {\i1}displaystyle {\i}nabla {\i}cdot {\i}mathbf {\i} =0} $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	∮ S B ⋅ d A = 0 {\i1}displaystyle {S}mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0} $\oint _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0$
A lei de indução de Faraday:	∇ × E = - ∂ B ∂ t {\i1}displaystyle {\i}mathbf {E} =-{\i1}frac {\i1}mathbf t parcial $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	∮ C E ⋅ d l - ∮ C B × v ⋅ d l = - d d d t ∫ S B ⋅ d A {\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i} \cdot d\mathbf - ponto _C\mathbf B \vezes matemathbf (v) cdot d (mathbf) Não é um mate... \cdot d\mathbf {A} } $\oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} -\oint _{C}\mathbf {B} \times \mathbf {v} \cdot d{\mathbf {l} }=-\ {d \over dt}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$
Lei de Ampère (com a extensão de Maxwell):	∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\i1}displaystyle {\i1}nabla {\i}times {\i}mathbf {\i} =mathbf {\i} +frac {\i1}frac {\i1}parcialmathbf {\i} t parcial $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	∮ C H ⋅ d l = ∫ S J ⋅ d A + ∫ S ∂ D ∂ t ⋅ d A {\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i} \cdot d\mathbf =int _Smathbf _J} \cdot d\mathbf {A} +\Não é uma questão de matemática. cdot dmathbf } $\oint _{C}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}\mathbf {J} \cdot d\mathbf {A} +\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A}$

onde a seguinte tabela fornece o significado de cada símbolo e a unidade de medida SI:

Símbolo	Significado	Unidade de medida SI
E estilo de exibição } $\mathbf {E}$	campo elétrico	volt por metro
H estilo de exibição } $\mathbf {H}$	força do campo magnético	ampere por metro
D estilo de exibição {D}mathbf {D} } $\mathbf {D}$	campo de deslocamento elétrico	coulomb por metro quadrado
B estilo de jogo B } $\mathbf {B}$	A densidade do fluxo magnético também é chamada de indução magnética.	tesla, ou equivalente, weber por metro quadrado
ρ $\ \rho \$	densidade de carga elétrica livre, sem contar as cargas dipolo ligadas em um material.	coulomb por metro cúbico
J estilo de exibição } $\mathbf {J}$	densidade da corrente livre, sem contar as correntes de polarização ou magnetização ligadas em um material.	ampere por metro quadrado
d A {\i1}displaystyle d{\i}mathbf {A} } $d\mathbf {A}$	elemento diferencial vetorial da área de superfície A, com magnitude e direção muito pequena normal à superfície S	metros quadrados
d V {\i1}dV {\i1}displaystyle dV {\i} $dV\$	elemento diferencial do volume V encerrado pela superfície S	metros cúbicos
d l dmathbf } $d\mathbf {l}$	elemento diferencial vetorial do comprimento da trajetória tangencial ao contorno C superfície de fechamento c	metros
v v vmathbf $\mathbf {v}$	velocidade instantânea do elemento de linha d l {\i1}displaystyle d{\i}mathbf } $d\mathbf {l}$ definido acima (para circuitos em movimento).	metros por segundo

O significado das equações

A densidade de carga e o campo elétrico

∇ ⋅ D = ρ {\i1}displaystyle {\i}nabla {\i}mathbf {D} =rho {\i} $\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho$ ,

onde ρ ${\rho }$ é a densidade de carga elétrica livre (em unidades de C/m3), sem contar as cargas dipolo ligadas em um material, e D é o estilo de exibição de material (D). } $\mathbf {D}$ é o campo de deslocamento elétrico (em unidades de C/m2). Esta equação é como a lei de Coulomb para cargas não móveis no vácuo.

A próxima forma integral (pelo teorema da divergência), também conhecida como lei de Gauss, diz a mesma coisa:

∮ A D ⋅ d A = Q em anexo {\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i} cdot d\mathbf {A} =Q_{\i1}text{\i}} $\oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{\text{enclosed}}$

d A {\i1}displaystyle d{\i}mathbf {A} $d\mathbf {A}$ é a área de um quadrado diferencial na superfície fechada A. A superfície normal apontando para fora é a direção, e Q fechado $Q_{\text{enclosed}}$ Q_texto (fechado) é a área livre que está dentro da superfície.

Em um material linear, o D estilo D de exposição $\mathbf {D}$ está diretamente relacionado com o campo elétrico E estilo de jogo E $\mathbf {E}$ com uma constante chamada permissividade, ε $\varepsilon$ (Esta constante é diferente para diferentes materiais):

D = ε E {\i1}displaystyle {\i}mathbf {D} =varepsilon {\i}mathbf } $\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E}$ .

Você pode fingir que um material é linear, se o campo elétrico não for muito forte.

A permissividade do espaço livre é chamada ε 0 {\i1}displaystyle {\i}varepsilon _{\i} $\varepsilon _{0}$ e é usado nesta equação:

∇ ⋅ E = ρ t ε 0 {\i1}displaystyle {\i1}nabla {\i}mathbf {\i} ={\i1}frac {\i}{\i1}{\i1}vepsilon _{\i0}}}} $\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{t}}{\varepsilon _{0}}}$

Aqui o E {\i1}estilo de exibição {E}mathbf $\mathbf {E}$ é o campo elétrico novamente (em unidades de V/m), ρ t {\i1} $\rho _{t}$ é a densidade total de carga (incluindo as cargas vinculadas), e ε 0 {\i1}displaystyle {\i}varepsilon _{\i} $\varepsilon _{0}$ (aproximadamente 8,854 pF/m) é a permissividade do espaço livre. Pode-se também escrever ε {{\i1}displaystyle {\i}varepsilon $\varepsilon$ como ε 0 ⋅ ε r {\i1}displaystyle {\i}varepsilon _{\i}cdot {\i}varepsilon _{\i} $\varepsilon _{0}\cdot \varepsilon _{r}$ . Aqui, ε r {\displaystyle \vepsilon _{r}} $\varepsilon _{r}$ é a permissividade do material quando comparado com a permissividade do espaço livre. Esta é chamada de permissividade relativa ou constante dielétrica.

Veja também a equação de Poisson.

A estrutura do campo magnético

∇ ⋅ B = 0 {\i1}displaystyle {\i}nabla {\i}cdot {\i}mathbf {\i} =0} $\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

B estilo de jogo B } $\mathbf {B}$ é a densidade do fluxo magnético (em unidades de tesla, T), também chamada de indução magnética.

Esta próxima forma integral diz a mesma coisa:

∮ A B ⋅ d A = 0 {{\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i} \cdot d\mathbf {A} =0} $\oint _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A} =0$

A área de d A dmathbf $d\mathbf {A}$ é a área de um quadrado diferencial na superfície $A$ A A direção de d A dmathbf $d\mathbf {A}$ é a superfície normal apontando para fora na superfície de $A$

Esta equação só funciona se a integral for feita sobre uma superfície fechada. Esta equação diz, que em cada volume a soma das linhas do campo magnético que entram é igual à soma das linhas do campo magnético que saem. Isto significa que as linhas do campo magnético devem ser circuitos fechados. Outra forma de dizer isto é que as linhas de campo não podem começar de algum lugar. Esta é a maneira matemática de dizer: "Não há monopolos magnéticos".

Um fluxo magnético variável e o campo elétrico

∇ × E = - ∂ B ∂ t {\i1}displaystyle {\i}mathbf {E} =-{\i1}frac {\i1}mathbf t parcial $\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

Esta próxima forma integral diz a mesma coisa:

∮ s E ⋅ d s = - d Φ B d t {\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i} \cdot d\mathbf {s} =--frac {d\phi _mathbf {b} }{dt}}}{dt}} $\oint _{s}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d\Phi _{\mathbf {B} }}{dt}}$

Aqui Φ B = ∫ A B ⋅ d A {\i1}displaystyle {\i}Phi _{\i1}mathbf {\i} Não sei... \cdot d\mathbf {A} } $\Phi _{\mathbf {B} }=\int _{A}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {A}$

Isto é o que os símbolos significam:

_ΦB é o fluxo magnético que atravessa a área A que a segunda equação descreve,

E é o campo elétrico que o fluxo magnético causa,

s é um caminho fechado no qual a corrente é induzida, por exemplo, um fio,

v é a velocidade instantânea do elemento de linha (para circuitos em movimento).

A força eletromotriz é igual ao valor desta integral. Algumas vezes este símbolo é usado para a força eletromotiva: E estilo de jogo Matemático $\mathcal{E}$ Não confundir com o símbolo de permissividade que era usado antes.

Esta lei é como a lei de Faraday de indução eletromagnética.

Alguns livros mostram o sinal de mão direita da forma integral com um N (N é o número de bobinas de arame que estão ao redor da borda de A) em frente à derivada do fluxo. O N pode ser cuidado no cálculo de A (múltiplas bobinas de arame significa múltiplas superfícies para o fluxo passar), e é um detalhe de engenharia, portanto é deixado de fora aqui.

O sinal negativo é necessário para a conservação de energia. É tão importante que até tem seu próprio nome, a lei de Lenz.

Esta equação mostra como os campos elétricos e magnéticos têm a ver um com o outro. Por exemplo, esta equação explica como funcionam os motores elétricos e os geradores elétricos. Em um motor ou gerador, o circuito de campo tem um campo elétrico fixo que provoca um campo magnético. Isto é chamado de excitação fixa. A tensão variável é medida através do circuito de armadura. As equações de Maxwell são usadas em um sistema de coordenadas à direita. Para usá-las em um sistema canhoto, sem ter que mudar as equações, a polaridade dos campos magnéticos tem que fazer o oposto (isto não é errado, mas é confuso porque normalmente não é feito assim).

A fonte do campo magnético

∇ × H = J + ∂ D ∂ t {\i1}displaystyle {\i1}nabla {\i}times {\i}mathbf {\i} =mathbf {\i} +frac {\i1}frac {\i1}parcialmathbf {\i} t parcial $\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$

H é a intensidade do campo magnético (em unidades de A/m), que você pode obter dividindo o fluxo magnético B por uma constante chamada permeabilidade, μ (B = μH), e J é a densidade da corrente, definida por:

J = ∫ρqvdA

v é um campo vetorial chamado de velocidade de deriva. Ele descreve as velocidades dos portadores de carga que têm uma densidade descrita pela função escalar ρq.

No espaço livre, a permeabilidade μ é a permeabilidade do espaço livre, _μ0, que é exatamente 4π×10-7 W/A-m, por definição. Além disso, a permissividade é a permissividade do espaço livre ε0. Portanto, no espaço livre, a equação é:

∇ × B = μ 0 J + μ 0 ε 0 ∂ E ∂ t {\i1}displaystyle {\i1}mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} +\VAREPSILON VAREPSILON VAREPSILON VAREPSILON VAREPSILON VAREPSILON VAREPSILON t parcial $\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} +\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

A próxima forma integral diz a mesma coisa:

∮ s B ⋅ d s = μ 0 I rodeado + μ 0 ε 0 ∫ A ∂ E ∂ t ⋅ d A {\i1}displaystyle {\i}mathbf {\i} \cdot d\mathbf =mu _0}I_texto _0}mu _0}varepsilon _0}int _0}frac {\i1}frac {\i}parcial _0}mathbf cdot dmathbf } $\oint _{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =\mu _{0}I_{\text{encircled}}+\mu _{0}\varepsilon _{0}\int _{A}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {A}$

s é a borda da superfície aberta A (qualquer superfície com a curva s como sua borda é ok aqui), e Iencircled é a corrente circundada pela curva s (a corrente através de qualquer superfície é definida pela equação: I através de _A = ∫AJ-dA).

Se a densidade do fluxo elétrico não muda muito rapidamente, o segundo termo do lado direito (o fluxo de deslocamento) é muito pequeno e pode ser deixado de fora, e então a equação é a mesma que a lei de Ampere.

Formulação Covariante

Existem apenas duas equações covariantes de Maxwell, porque o vetor do campo covariante inclui o campo elétrico e o campo magnético.

Nota matemática: Nesta seção será utilizada a notação de índice abstrato.

Na relatividade especial, as equações de Maxwell para o vácuo são escritas em termos de quatro vetores e tensores na forma "manifestamente covariante". Isto foi feito para mostrar mais claramente o fato de que as equações de Maxwell (no vácuo) assumem a mesma forma em qualquer sistema de coordenadas inercial. Esta é a forma "manifestamente covariante":

J b = ∂ a F a b ^{b}==parcial _{a}F^{ab},^,^! } $J^{b}=\partial _{a}F^{ab}\,\!$ ,

0 = ∂ c F a b + ∂ b F c a + ∂ a F b c {\i1}displaystyle 0===parcial _{c}F_{ab}+\parcial _{b}F_{ca}+\i-parcial _{a}F_{bc}}} $0=\partial _{c}F_{ab}+\partial _{b}F_{ca}+\partial _{a}F_{bc}$

A segunda equação é a mesma que:

0 = ε d a b c ∂ a F b c {\i1}displaystyle 0==varepsilon _{\i}{\i1}parcial ^{a}F^{\i},^F^{bc},^! } $0=\varepsilon _{dabc}\partial ^{a}F^{bc}\,\!$

Aqui J a {\an8} $\,J^{a}$ é a corrente 4, F a b b {\an8} $\,F^{ab}$ é o tensor de força de campo (escrito como uma matriz 4 × 4), ε a b c d {\an8} $\,\varepsilon _{abcd}$ é o símbolo Levi-Civita, e ∂ a = ( ∂ / ∂ c t , ∇ ) {\i1}(ct,nabla)} $\partial _{a}=(\partial /\partial ct,\nabla )$ é o 4-gradiente (de modo que ∂ a ∂ a {\i} a {\i1}displaystyle ^partial $\partial _{a}\partial ^{a}$ _{a}=(ct,nabla)} é o operador d'Alembertian). (De acordo com a notação de Einstein, na primeira equação, o {\a10} é implicitamente resumido). A primeira equação tensora diz a mesma coisa que as duas equações não homogêneas de Maxwell: A lei de Gauss e a lei de Ampere com a correção de Maxwell. A segunda equação diz a mesma coisa que as outras duas equações, as equações homogêneas: A lei de Faraday de indução e a ausência de monopólios magnéticos.

J a {\a}} $\,J^{a}$ também pode ser descrito mais explicitamente por esta equação: J a = ( c ρ , J → ) {\i1}displaystyle J^{a}=,(c\i1}rho ,{\i}vec {J}}} $J^{a}=\,(c\rho ,{\vec {J}})$ (como um vetor contravariante), onde você obtém J a {\i1}displaystyle J^{a}} $\,J^{a}$ da densidade de carga ρ e a densidade atual J → {\i1}displaystyle J ${\vec {J}}$ . A 4-corrente é uma solução para a equação de continuidade:

J a , a = 0 ^{\a}_{,a},=0} $J^{a}{}_{,a}\,=0$

Em termos de 4-potenciais (como um vetor contravariante) A a = ( ϕ , A → c ) A^{\a}=esquerda(a {\phi ,{\vec {\a}c}displaystyle A^{\a}=direita} $A^{a}=\left(\phi ,{\vec {A}}c\right)$ onde φ é o potencial elétrico e A → ${\vec {A}}$ é o potencial vetorial magnético no medidor de Lorentz ( ∂ a A a = 0 ) Estilo de exibição Esquerda (a ^A ^A ^A = 0) $\left(\partial _{a}A^{a}=0\right)$ F pode ser escrito como:

F a b = ∂ b A a - ∂ a A b F^{\i}=parcial } $F^{ab}=\partial ^{b}A^{a}-\partial ^{a}A^{b}\,\!$

o que leva ao tensor 4 × 4 de matriz de grau 2:

F a b = ( 0 - E x c - E y c - E z c E x c 0 - B z B y E y c B z 0 - B x E z c - B y B x 0 ) . Esquerda(esquerda)(begin)(matrix) 0&-frat...0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right). } $F^{ab}=\left({\begin{matrix}0&-{\frac {E_{x}}{c}}&-{\frac {E_{y}}{c}}&-{\frac {E_{z}}{c}}\\{\frac {E_{x}}{c}}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {E_{y}}{c}}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {E_{z}}{c}}&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right).$

O fato de ambos os campos elétricos e magnéticos serem combinados em um único tensor mostra o fato de que, de acordo com a relatividade, ambos são partes diferentes da mesma coisa - mudando os quadros de referência, o que parece ser um campo elétrico em um quadro pode parecer um campo magnético em outro quadro, e o contrário.

Usando a forma tensora das equações de Maxwell, a primeira equação implica

◻ F a b = 0 {\\i1}box F^{\i}=0} $\Box F^{ab}=0$ (Ver Eletromagnético quatro-potenciais para a relação entre o d'Alembertian do quatro-potencial e o quatro-corrente, expresso em termos da notação do operador vetorial mais antigo).

Autores diferentes às vezes usam convenções de sinais diferentes para estes tensores e 4 vetores (mas isto não muda o que eles significam).

F a b b {\i1}, F^{ab} $\,F^{ab}$ e F a b b {\i}, F_ab} $\,F_{ab}$ não são o mesmo: são relacionados pelo tensor métrico Minkowski η {\i} $\eta$ : F a b = η a c η b d F c d {\i}displaystyle F_ab=,^eta _bd}F^{cd}} $F_{ab}=\,\eta _{ac}\eta _{bd}F^{cd}$ . Isto muda o sinal de alguns componentes do F; dualidades métricas mais complexas podem ser vistas na relatividade geral.

Perguntas e Respostas

P: O que as equações de Maxwell descrevem?

R: As equações de Maxwell descrevem como cargas elétricas e correntes elétricas criam campos elétricos e magnéticos.

P: Como um campo elétrico pode gerar um campo magnético?

R: As equações de Maxwell descrevem como um campo elétrico pode gerar um campo magnético.

P: Quem desenvolveu as equações de Maxwell e quando elas foram publicadas?

R: As equações foram desenvolvidas por James Clerk Maxwell e publicadas na década de 1860.

P: O que é um campo?

R: Um campo é a força por unidade de carga gerada por partículas carregadas.

P: As equações podem ser usadas para calcular o movimento de partículas em campos elétricos e magnéticos?

R: Sim, as equações, juntamente com a equação da força de Lorentz, podem ser usadas para calcular o movimento de partículas clássicas em campos elétricos e magnéticos.

P: O que a primeira equação das equações de Maxwell permite calcular?

R: A primeira equação permite calcular o campo elétrico criado por uma carga.

P: O que as outras duas equações das equações de Maxwell descrevem?

R: As outras duas equações descrevem como os campos "circulam" em torno de suas fontes. Os campos magnéticos "circulam" em torno de correntes elétricas e campos elétricos com variação de tempo, enquanto os campos elétricos "circulam" em torno de campos magnéticos com variação de tempo.