Número de Fibonacci

Os números Fibonacci são uma seqüência de números em matemática com o nome de Leonardo de Pisa, conhecido como Fibonacci. Fibonacci escreveu um livro em 1202, chamado Liber Abaci ("Livro de Cálculo"), que introduziu o padrão numérico à matemática da Europa Ocidental, embora os matemáticos na Índia já soubessem disso.

O primeiro número do padrão é 0, o segundo número é 1, e cada número depois disso é igual a somar os dois números imediatamente antes dele juntos. Por exemplo, 0+1=1 e 3+5=8. Esta seqüência continua para sempre.

Isto pode ser escrito como uma relação de recorrência,

F n = F n - 1 + F n - 2 {\i1}=F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}} {\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}

Para que isto faça sentido, pelo menos dois pontos de partida precisam ser dados. Aqui, F 0 = 0 {\i1}f_{0}=0} {\displaystyle F_{0}=0}e F 1 = 1 {\i}f_{1}=1}{\displaystyle F_{1}=1} .

Uma espiral de Fibonacci criada desenhando uma linha através dos quadrados no azulejo Fibonacci; esta utiliza quadrados de tamanhos 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, e 34; ver Espiral dourada
Uma espiral de Fibonacci criada desenhando uma linha através dos quadrados no azulejo Fibonacci; esta utiliza quadrados de tamanhos 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, e 34; ver Espiral dourada

Números de Fibonacci na natureza

Os números de Fibonacci estão relacionados com a proporção de ouro, que aparece em muitos lugares nos edifícios e na natureza. Alguns exemplos são o padrão de folhas em um caule, as partes de um abacaxi, a floração de alcachofra, o desenrolar de uma samambaia e o arranjo de uma pinha de pinheiro. Os números Fibonacci também são encontrados na árvore genealógica das abelhas.

Cabeça de girassol exibindo floretes em espiral de 34 e 55 em torno do exterior
Cabeça de girassol exibindo floretes em espiral de 34 e 55 em torno do exterior

A Fórmula Binet

O número nth Fibonacci pode ser escrito em termos da proporção de ouro. Isto evita ter que usar a recorrência para calcular os números Fibonacci, o que pode levar muito tempo para ser feito por um computador.

F n = φ n - ( 1 - φ ) n 5 {\frac ^{n}={\frac ^{n}-(1-\varphi} ^{n}}{\sqrt {5}}}} {\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}}

Onde φ = 1 + 5 2 {\i1}}displaystyle {\i}varphi ={\i1+{\i}frac {\i}{\i1+{\i}{\i1}{\i1}frac {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}a proporção de ouro.


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