Geometria hiperbólica

Uma propriedade interessante da geometria hiperbólica decorre da ocorrência de mais de uma linha paralela através de um ponto P: existem duas classes de linhas não-intersectantes. Deixe B ser o ponto em l de modo que a linha PB seja perpendicular a l. Considere a linha x através de P de modo que x não interseja com l, e o ângulo θ entre PB e x no sentido anti-horário de PB é o menor possível; ou seja, qualquer ângulo menor forçará a linha a intersecionar l. Isto é chamado de linha assimptótica em geometria hiperbólica. Simetricamente, a linha y que forma o mesmo ângulo θ entre PB e ela mesma, mas no sentido horário a partir de PB também será assimptótica. x e y são as duas únicas linhas assimptóticas a l através de P. Todas as outras linhas através de P não intersectando l, com ângulos maiores que θ com PB, são chamadas de ultraparalelas (ou paralelas desarticuladas) a l. Note que como há um número infinito de ângulos possíveis entre θ e 90 graus, e cada um determinará duas linhas através de P e desjuntamente paralelas a l, existe um número infinito de linhas ultraparalelas.

Assim, temos esta forma modificada do postulado paralelo: Em geometria hiperbólica, dada qualquer linha l, e ponto P não sobre l, há exatamente duas linhas através de P que são assimptóticas a l, e infinitamente muitas linhas através de P ultraparalelo a l.

As diferenças entre estes tipos de linhas também podem ser vistas da seguinte maneira: a distância entre linhas assimptóticas corre a zero em uma direção e cresce sem limite na outra; a distância entre linhas ultraparalelas aumenta em ambas as direções. O teorema das linhas ultraparalelas afirma que existe uma linha única no plano hiperbólico que é perpendicular a cada um de um determinado par de linhas ultraparalelas.

Na geometria euclidiana, o ângulo de paralelismo é uma constante; ou seja, qualquer distância ‖ B P ‖ {\i1} entre linhas paralelas produz um ângulo de paralelismo igual a 90°. Em geometria hiperbólica, o ângulo de paralelismo varia com a função Π ( p ) {\i (p)}displaystyle {\i (p)}. Esta função, descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produz um ângulo único de paralelismo para cada distância p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . À medida que a distância se encurta, Π ( p ) {\i (p)} aproxima-se dos 90°, enquanto que com o aumento da distância Π ( p ) {\i (p)} {\i (p)} aproxima-se dos 0°. Assim, à medida que as distâncias ficam menores, o plano hiperbólico se comporta mais e mais como a geometria euclidiana. De fato, em pequenas escalas, em comparação com 1° - K estilo de jogo 1° (qrt) K}}}} onde K {\i1}displaystyle K\i}! é a (constante) curvatura gaussiana do avião, um observador teria dificuldade em determinar se está no plano euclidiano ou no hiperbólico.

Vários geômetros fizeram tentativas de provar o postulado paralelo, incluindo Omar Khayyám, e mais tarde Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert, e Legendre. Suas tentativas fracassaram, mas seus esforços deram origem a uma geometria hiperbólica. Os teoremas de Alhacen, Khayyam em quadriláteros, foram os primeiros teoremas sobre a geometria hiperbólica. Seus trabalhos sobre geometria hiperbólica tiveram influência em seu desenvolvimento entre os geômetros europeus posteriores, incluindo Witelo, Alfonso e John Wallis.

No século dezenove, a geometria hiperbólica foi explorada por János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky, de quem às vezes se dá o nome. Lobachevsky publicou em 1830, enquanto Bolyai a descobriu independentemente e a publicou em 1832. Karl Friedrich Gauss também estudou geometria hiperbólica, descrevendo em uma carta de 1824 a Taurinus que ele a tinha construído, mas não publicou seu trabalho. Em 1868, Eugenio Beltrami forneceu modelos da mesma, e usou isto para provar que a geometria hiperbólica era consistente se a geometria euclidiana fosse.

O termo "geometria hiperbólica" foi introduzido por Felix Klein em 1871. Para mais história, veja o artigo sobre geometria não-euclidiana.

Há três modelos comumente usados para a geometria hiperbólica: o modelo Klein, o modelo de disco Poincaré e o modelo Lorentz, ou modelo hiperbolóide. Estes modelos definem um espaço hiperbólico real que satisfaz os axiomas de uma geometria hiperbólica. Apesar da nomenclatura, os dois modelos de disco e o modelo de meio plano foram introduzidos como modelos de espaço hiperbólico por Beltrami, não por Poincaré ou Klein.

1. O modelo Klein, também conhecido como modelo de disco projetivo e modelo Beltrami-Klein, utiliza o interior de um círculo para o plano hiperbólico, e os acordes do círculo como linhas.
2. O modelo de meio plano Poincaré toma metade do plano euclidiano, como determinado por uma linha euclidiana B, para ser o plano hiperbólico (o próprio B não está incluído).
• As linhas hiperbólicas são, então, semicírculos ortogonais a B ou raios perpendiculares a B.
• Ambos os modelos Poincaré preservam os ângulos hiperbólicos e, portanto, são conformes. Todas as isometrias dentro destes modelos são, portanto, transformações de Möbius.
• O modelo de meio plano é idêntico (no limite) ao modelo do disco Poincaré na borda do disco
• Este modelo tem aplicação direta na relatividade especial, já que Minkowski 3-space é um modelo para o espaço-tempo, suprimindo uma dimensão espacial. Pode-se tomar o hiperbolóide para representar os eventos que vários observadores em movimento, irradiando para fora em um plano espacial a partir de um único ponto, alcançarão em um tempo fixo apropriado. A distância hiperbólica entre dois pontos do hiperbolóide pode então ser identificada com a relativa rapidez entre os dois observadores correspondentes.

M. C. As famosas gravuras Circle Limit III e Circle Limit IV de C. Escher ilustram muito bem o modelo de disco conformado. Em ambos se pode ver a geodésica. (Em III as linhas brancas não são geodésicas, mas hiperciclos, que correm ao lado delas). Também é possível ver muito claramente a curvatura negativa do plano hiperbólico, através de seu efeito sobre a soma dos ângulos em triângulos e quadrados.

No plano euclidiano, seus ângulos somariam 450°, ou seja, um círculo e um quarto. A partir disto, vemos que a soma dos ângulos de um triângulo no plano hiperbólico deve ser menor que 180°. Outra propriedade visível é o crescimento exponencial. No Limite do Círculo IV, por exemplo, pode-se ver que o número de anjos e demônios a uma distância de n do centro aumenta exponencialmente. Os demônios têm área hiperbólica igual, portanto a área de uma esfera de raio n deve subir exponencialmente em n.

Há várias maneiras de realizar fisicamente um plano hiperbólico (ou sua aproximação). Um modelo de papel particularmente conhecido, baseado na pseudoesfera, deve-se a William Thurston. A arte do crochê tem sido usada para demonstrar planos hiperbólicos, sendo o primeiro feito por Daina Taimina. Em 2000, Keith Henderson demonstrou um modelo de papel de fabricação rápida chamado de "bola de futebol hiperbólica".