Geometria hiperbólica

Linhas não-intersectantes

Uma propriedade interessante da geometria hiperbólica decorre da ocorrência de mais de uma linha paralela através de um ponto P: existem duas classes de linhas não-intersectantes. Deixe B ser o ponto em l de modo que a linha PB seja perpendicular a l. Considere a linha x através de P de modo que x não interseja com l, e o ângulo θ entre PB e x no sentido anti-horário de PB é o menor possível; ou seja, qualquer ângulo menor forçará a linha a intersecionar l. Isto é chamado de linha assimptótica em geometria hiperbólica. Simetricamente, a linha y que forma o mesmo ângulo θ entre PB e ela mesma, mas no sentido horário a partir de PB também será assimptótica. x e y são as duas únicas linhas assimptóticas a l através de P. Todas as outras linhas através de P não intersectando l, com ângulos maiores que θ com PB, são chamadas de ultraparalelas (ou paralelas desarticuladas) a l. Note que como há um número infinito de ângulos possíveis entre θ e 90 graus, e cada um determinará duas linhas através de P e desjuntamente paralelas a l, existe um número infinito de linhas ultraparalelas.

Assim, temos esta forma modificada do postulado paralelo: Em geometria hiperbólica, dada qualquer linha l, e ponto P não sobre l, há exatamente duas linhas através de P que são assimptóticas a l, e infinitamente muitas linhas através de P ultraparalelo a l.

As diferenças entre estes tipos de linhas também podem ser vistas da seguinte maneira: a distância entre linhas assimptóticas corre a zero em uma direção e cresce sem limite na outra; a distância entre linhas ultraparalelas aumenta em ambas as direções. O teorema das linhas ultraparalelas afirma que existe uma linha única no plano hiperbólico que é perpendicular a cada um de um determinado par de linhas ultraparalelas.

Na geometria euclidiana, o ângulo de paralelismo é uma constante; ou seja, qualquer distância ‖ B P ‖ {\i1} entre linhas paralelas produz um ângulo de paralelismo igual a 90°. Em geometria hiperbólica, o ângulo de paralelismo varia com a função Π ( p ) {\i (p)}displaystyle {\i (p)}. Esta função, descrita por Nikolai Ivanovich Lobachevsky, produz um ângulo único de paralelismo para cada distância p = ‖ B P ‖ {\displaystyle p=\lVert BP\rVert } . À medida que a distância se encurta, Π ( p ) {\i (p)} aproxima-se dos 90°, enquanto que com o aumento da distância Π ( p ) {\i (p)} {\i (p)} aproxima-se dos 0°. Assim, à medida que as distâncias ficam menores, o plano hiperbólico se comporta mais e mais como a geometria euclidiana. De fato, em pequenas escalas, em comparação com 1° - K estilo de jogo 1° (qrt) K}}}} onde K {\i1}displaystyle K\i}! é a (constante) curvatura gaussiana do avião, um observador teria dificuldade em determinar se está no plano euclidiano ou no hiperbólico.

História

Vários geômetros fizeram tentativas de provar o postulado paralelo, incluindo Omar Khayyám, e mais tarde Giovanni Gerolamo Saccheri, John Wallis, Lambert, e Legendre. Suas tentativas fracassaram, mas seus esforços deram origem a uma geometria hiperbólica. Os teoremas de Alhacen, Khayyam em quadriláteros, foram os primeiros teoremas sobre a geometria hiperbólica. Seus trabalhos sobre geometria hiperbólica tiveram influência em seu desenvolvimento entre os geômetros europeus posteriores, incluindo Witelo, Alfonso e John Wallis.

No século dezenove, a geometria hiperbólica foi explorada por János Bolyai e Nikolai Ivanovich Lobachevsky, de quem às vezes se dá o nome. Lobachevsky publicou em 1830, enquanto Bolyai a descobriu independentemente e a publicou em 1832. Karl Friedrich Gauss também estudou geometria hiperbólica, descrevendo em uma carta de 1824 a Taurinus que ele a tinha construído, mas não publicou seu trabalho. Em 1868, Eugenio Beltrami forneceu modelos da mesma, e usou isto para provar que a geometria hiperbólica era consistente se a geometria euclidiana fosse.

O termo "geometria hiperbólica" foi introduzido por Felix Klein em 1871. Para mais história, veja o artigo sobre geometria não-euclidiana.

Modelos do plano hiperbólico

Há três modelos comumente usados para a geometria hiperbólica: o modelo Klein, o modelo de disco Poincaré e o modelo Lorentz, ou modelo hiperbolóide. Estes modelos definem um espaço hiperbólico real que satisfaz os axiomas de uma geometria hiperbólica. Apesar da nomenclatura, os dois modelos de disco e o modelo de meio plano foram introduzidos como modelos de espaço hiperbólico por Beltrami, não por Poincaré ou Klein.

1. O modelo Klein, também conhecido como modelo de disco projetivo e modelo Beltrami-Klein, utiliza o interior de um círculo para o plano hiperbólico, e os acordes do círculo como linhas.
2. O modelo de meio plano Poincaré toma metade do plano euclidiano, como determinado por uma linha euclidiana B, para ser o plano hiperbólico (o próprio B não está incluído).
• As linhas hiperbólicas são, então, semicírculos ortogonais a B ou raios perpendiculares a B.
• Ambos os modelos Poincaré preservam os ângulos hiperbólicos e, portanto, são conformes. Todas as isometrias dentro destes modelos são, portanto, transformações de Möbius.
• O modelo de meio plano é idêntico (no limite) ao modelo do disco Poincaré na borda do disco
• Este modelo tem aplicação direta na relatividade especial, já que Minkowski 3-space é um modelo para o espaço-tempo, suprimindo uma dimensão espacial. Pode-se tomar o hiperbolóide para representar os eventos que vários observadores em movimento, irradiando para fora em um plano espacial a partir de um único ponto, alcançarão em um tempo fixo apropriado. A distância hiperbólica entre dois pontos do hiperbolóide pode então ser identificada com a relativa rapidez entre os dois observadores correspondentes.

Modelo de disco Poincaré de grande rhombitruncated {3,7} tiling

Visualizando a geometria hiperbólica

M. C. As famosas gravuras Circle Limit III e Circle Limit IV de C. Escher ilustram muito bem o modelo de disco conformado. Em ambos se pode ver a geodésica. (Em III as linhas brancas não são geodésicas, mas hiperciclos, que correm ao lado delas). Também é possível ver muito claramente a curvatura negativa do plano hiperbólico, através de seu efeito sobre a soma dos ângulos em triângulos e quadrados.

No plano euclidiano, seus ângulos somariam 450°, ou seja, um círculo e um quarto. A partir disto, vemos que a soma dos ângulos de um triângulo no plano hiperbólico deve ser menor que 180°. Outra propriedade visível é o crescimento exponencial. No Limite do Círculo IV, por exemplo, pode-se ver que o número de anjos e demônios a uma distância de n do centro aumenta exponencialmente. Os demônios têm área hiperbólica igual, portanto a área de uma esfera de raio n deve subir exponencialmente em n.

Há várias maneiras de realizar fisicamente um plano hiperbólico (ou sua aproximação). Um modelo de papel particularmente conhecido, baseado na pseudoesfera, deve-se a William Thurston. A arte do crochê tem sido usada para demonstrar planos hiperbólicos, sendo o primeiro feito por Daina Taimina. Em 2000, Keith Henderson demonstrou um modelo de papel de fabricação rápida chamado de "bola de futebol hiperbólica".

Uma coleção de planos hiperbólicos de croché, em imitação de um recife de coral, pelo Instituto de Figuras