As bases matemáticas da relatividade especial são as transformações de Lorentz, que descrevem matematicamente as visões de espaço e tempo para dois observadores que estão se movendo em relação um ao outro, mas não estão experimentando aceleração.
Para definir as transformações, usamos um sistema de coordenadas cartesianas para descrever matematicamente o tempo e o espaço dos "eventos".
Cada observador pode descrever um evento como a posição de algo no espaço em um determinado momento, usando coordenadas (x,y,z,t).
A localização do evento é definida nas três primeiras coordenadas (x,y,z) em relação a um centro arbitrário (0,0,0) de modo que (3,3,3) seja uma diagonal com 3 unidades de distância (como metros ou milhas) para fora em cada direção.
A hora do evento é descrita com a quarta coordenada t em relação a um ponto arbitrário (0) no tempo em alguma unidade de tempo (como segundos ou horas ou anos).
Que haja um observador K que descreva quando os eventos ocorrem com uma coordenada de tempo t, e que descreva onde os eventos ocorrem com coordenadas espaciais x, y e z. Isto é definir matematicamente o primeiro observador cujo "ponto de vista" será nossa primeira referência.
Vamos especificar que a hora de um evento é dada: pelo tempo que é observado t(observado) (digamos hoje, às 12 horas) menos o tempo que levou para que a observação chegasse ao observador.
Isto pode ser calculado como a distância do observador ao evento d(observado) (digamos que o evento está sobre uma estrela que está a 1 ano-luz de distância, portanto, a luz leva 1 ano para chegar ao observador) dividida por c, a velocidade da luz (vários milhões de milhas por hora), que definimos como sendo a mesma para todos os observadores.
Isto é correto porque a distância, dividida pela velocidade, dá o tempo necessário para percorrer essa distância a essa velocidade (por exemplo, 30 milhas dividido por 10 mph: dê-nos 3 horas, porque se você percorrer 10 mph por 3 horas, você alcança 30 milhas). Assim fizemos:
t = d / c {\i1}displaystyle t=d/c} 
Isto define matematicamente o que qualquer "tempo" significa para qualquer observador.
Agora, com estas definições em vigor, que haja outro observador K' que seja
- movendo-se ao longo do eixo x de K a uma taxa de v,
- tem um sistema de coordenadas espaciais de x' , y' , e z' ,
onde o eixo x' coincide com o eixo x, e com os eixos y' e z' - "sempre sendo paralelo" com os eixos y e z.
Isto significa que quando K' dá uma localização como (3,1,2), o x (que é 3 neste exemplo) é o mesmo lugar que K, o primeiro observador estaria falando, mas o 1 no eixo y ou o 2 no eixo z são apenas paralelos a alguma localização no sistema de coordenadas do observador K', e
- onde K e K' são coincidentes em t = t' = 0
Isto significa que a coordenada (0,0,0,0,0) é o mesmo evento para ambos os observadores.
Em outras palavras, ambos os observadores têm (pelo menos) uma hora e um local que ambos concordam, que é o local e o tempo zero.
As Transformações Lorentz então são
t ′ = ( t - v x / c 2 ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle t'=(t-vx/c^{2})/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
x ′ = ( x - v t ) / 1 - v 2 / c 2 {\displaystyle x'=(x-vt)/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} 
y ′ = y {\\i1}y {\i1}displaystyle y'=y 
e
z ′ = z {\displaystyle z'=z}
.
Definir um evento para ter coordenadas espaço-tempo (t,x,y,z) no sistema S e (t′,x′,y′,z′) em um quadro de referência movendo-se a uma velocidade v em relação a esse quadro, S′. Então a transformação de Lorentz especifica que estas coordenadas estão relacionadas da seguinte forma: é o fator Lorentz e c é a velocidade da luz no vácuo, e a velocidade v de S′ é paralela ao eixo x. Para simplificar, as coordenadas y e z não são afetadas; apenas as coordenadas x e t são transformadas. Estas transformações de Lorentz formam um grupo de mapeamentos lineares de um só parâmetro, sendo esse parâmetro chamado de rapidez.
A solução das quatro equações de transformação acima para as coordenadas não afiadas produz a transformação inversa de Lorentz:
t = γ ( t ′ + v x ′ / c 2 ) x = γ ( x ′ + v t ′ ) y = y ′ z = z ′ . {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}} 
Fazendo esta transformação inversa de Lorentz coincidir com a transformação de Lorentz do sistema escorvado para o não escorvado, mostra o quadro não escorvado como movendo-se com a velocidade v′ = -v, conforme medido no quadro escorvado.
Não há nada de especial sobre o eixo x. A transformação pode se aplicar ao eixo y ou z, ou mesmo em qualquer direção, que pode ser feita por direções paralelas ao movimento (que são deformadas pelo fator γ) e perpendiculares; veja o artigo Transformação Lorentz para detalhes.
Uma quantidade invariável sob as transformações de Lorentz é conhecida como um escalar de Lorentz.
Escrevendo a transformação de Lorentz e seu inverso em termos de diferenças de coordenadas, onde um evento tem coordenadas (x1, t1) e (x′1, t′1), outro evento tem coordenadas (x2, t2) e (x′2, t′2), e as diferenças são definidas como
Eq. 1: Δ x ′ = x 2 ′ - x 1 ′ , Δ t ′ = t 2 ′ - t 1 ′ . Delta x'=x'_2-x'_1}, Delta t'=t'_2-t'_1} . } 
Eq. 2: Δ x = x 2 - x 1 , Δ t = t 2 - t 1 . Delta x=x_{2}-x_{1}, Delta t=t_{2}-t_{1} . } 
obtemos
Eq. 3: Δ x ′ = γ ( Δ x - v Δ t ) , {\i1}displaystyle Delta x'=gamma (Delta x-v, Delta t)} ,{\i1} 
Δ t ′ = γ ( Δ t - v Δ x / c 2 ) . Delta t'=gamma esquerda(Delta t-v) Delta x/c^{2}right){2} . } 
Eq. 4: Δ x = γ ( Δ x ′ + v Δ t ′ ) , {\i1}displaystyle Delta x=gamma (Delta x'+v, Delta t'),{\i} 
Δ t = γ ( Δ t ′ + v Δ x ′ / c 2 ) . Delta t=gamma esquerda(Delta t'+v) Delta x'/c^{2}right){2} . } 
Se aceitarmos diferenciais em vez de diferenças, obtemos
Eq. 5: d x ′ = γ ( d x - v d t ) , {\i1}displaystyle dx'=gamma (dx-v, dt)} 
d t ′ = γ ( d t - v d x / c 2 ) . dt'=gamma esquerda(dt-v) dx/c^{2}{2} . } 
Eq. 6: d x = γ ( d x ′ + v d t ′ ) , {\i1}displaystyle dx==gamma (dx'+v, dt')} 
d t = γ ( d t ′ + v d x ′ / c 2 ) . dt=gamma Esquerda(dt'+v dx'/c^{2}direita){\i1} . } 
