Variedade algébrica
Em matemática, as variedades algébricas (também chamadas de variedades) são um dos objetos centrais de estudo em geometria algébrica. As primeiras definições de variedade algébrica a definiram como o conjunto de soluções de um sistema de equações polinomiais, sobre os números reais ou complexos. As definições modernas de variedade algébrica generalizam esta noção enquanto tentam preservar a intuição geométrica por trás da definição original.
As convenções relativas à definição de uma variedade algébrica são diferentes: Alguns autores exigem que uma "variedade algébrica" seja, por definição, irredutível (o que significa que não é a união de dois conjuntos menores que são fechados na topologia Zariski), enquanto outros não o fazem. Quando a convenção anterior é utilizada, as variedades algébricas não irredutíveis são chamadas de conjuntos algébricos.
A noção de variedade é semelhante à de múltiplo. Uma diferença entre uma variedade e um manifold é que uma variedade pode ter pontos singulares, enquanto que um manifold não terá. Provado por volta do ano de 1800, o teorema fundamental da álgebra estabelece uma ligação entre álgebra e geometria, mostrando que um polinômio mono em uma variável com coeficientes complexos (um objeto algébrico) é determinado pelo conjunto de suas raízes (um objeto geométrico). Generalizando este resultado, o Nullstellensatz de Hilbert fornece uma correspondência fundamental entre os ideais de anéis polinomiais e conjuntos algébricos. Usando o Nullstellensatz e resultados relacionados, os matemáticos estabeleceram uma forte correspondência entre questões sobre conjuntos algébricos e questões de teoria dos anéis. Esta correspondência é a especificidade da geometria algébrica entre as outras sub-áreas da geometria.
O cúbico retorcido é uma variedade algébrica projetiva.
Perguntas e Respostas
P: O que são variedades algébricas?
R: As variedades algébricas são um dos objetos centrais de estudo em geometria algébrica. Elas são definidas como o conjunto de soluções de um sistema de equações polinomiais, sobre os números reais ou complexos.
P: Como as definições modernas diferem da definição original?
R: As definições modernas tentam preservar a intuição geométrica por trás da definição original, generalizando-a ao mesmo tempo. Alguns autores exigem que uma "variedade algébrica" seja, por definição, irredutível (o que significa que não é a união de dois conjuntos menores que são fechados na topologia Zariski), enquanto outros não o fazem.
P: Qual é uma diferença entre uma variedade e um múltiplo?
R: Uma variedade pode ter pontos singulares, enquanto um múltiplo não terá.
P: O que o teorema fundamental da álgebra estabelece?
R: O teorema fundamental da álgebra estabelece uma ligação entre a álgebra e a geometria, mostrando que um polinômio mono em uma variável com coeficientes complexos (um objeto algébrico) é determinado pelo conjunto de suas raízes (um objeto geométrico).
P: O que o Nullstellensatz de Hilbert fornece?
R: O Nullstellensatz de Hilbert fornece uma correspondência fundamental entre os ideais de anéis polinomiais e conjuntos algébricos.
P: Como essa correspondência tem sido usada pelos matemáticos?
R: Os matemáticos estabeleceram uma forte correspondência entre questões sobre conjuntos algébricos e questões de teoria dos anéis usando essa correspondência.
P: O que torna esta área particular única entre outras subáreas dentro da geometria? R: Essa forte correspondência entre questões sobre conjuntos algébricos e questões de teoria dos anéis torna essa área particular única entre outras subáreas dentro da geometria.
