Em matemática, as variedades algébricas (também chamadas de variedades) são um dos objetos centrais de estudo em geometria algébrica. As primeiras definições de variedade algébrica a definiram como o conjunto de soluções de um sistema de equações polinomiais, sobre os números reais ou complexos. As definições modernas de variedade algébrica generalizam esta noção enquanto tentam preservar a intuição geométrica por trás da definição original.
As convenções relativas à definição de uma variedade algébrica são diferentes: Alguns autores exigem que uma "variedade algébrica" seja, por definição, irredutível (o que significa que não é a união de dois conjuntos menores que são fechados na topologia Zariski), enquanto outros não o fazem. Quando a convenção anterior é utilizada, as variedades algébricas não irredutíveis são chamadas de conjuntos algébricos.
A noção de variedade é semelhante à de múltiplo. Uma diferença entre uma variedade e um manifold é que uma variedade pode ter pontos singulares, enquanto que um manifold não terá. Provado por volta do ano de 1800, o teorema fundamental da álgebra estabelece uma ligação entre álgebra e geometria, mostrando que um polinômio mono em uma variável com coeficientes complexos (um objeto algébrico) é determinado pelo conjunto de suas raízes (um objeto geométrico). Generalizando este resultado, o Nullstellensatz de Hilbert fornece uma correspondência fundamental entre os ideais de anéis polinomiais e conjuntos algébricos. Usando o Nullstellensatz e resultados relacionados, os matemáticos estabeleceram uma forte correspondência entre questões sobre conjuntos algébricos e questões de teoria dos anéis. Esta correspondência é a especificidade da geometria algébrica entre as outras sub-áreas da geometria.
