Geometria algébrica

A geometria algébrica é um ramo da matemática que estuda as equações polinomiais. A geometria algébrica moderna baseia-se em técnicas mais abstractas de álgebra abstracta, especialmente a álgebra comutativa, com a linguagem e os problemas da geometria.

Os principais objectos de estudo em geometria algébrica são as variedades algébricas, que são manifestações geométricas de conjuntos de soluções de sistemas de equações polinomiais. Exemplos das classes de variedades algébricas mais estudadas são: curvas algébricas planas, que incluem linhas, círculos, parábolas, elipses, hipérboles, curvas cúbicas como as curvas elípticas e curvas quartas como as ovais lemniscates, e Cassini. Um ponto do plano pertence a uma curva algébrica, se as suas coordenadas satisfizerem uma dada equação polinomial. As questões básicas envolvem o estudo dos pontos de interesse especial como os pontos singulares, os pontos de inflexão e os pontos no infinito. As questões mais avançadas envolvem a topologia da curva e as relações entre as curvas dadas por diferentes equações.

A geometria algébrica ocupa um lugar central na matemática moderna. Os conceitos que utiliza ligam-na a campos tão diversos como a análise complexa, a topologia e a teoria dos números. No início, a geometria algébrica tratava do estudo de sistemas de equações polinomiais em várias variáveis. A geometria algébrica começa no ponto em que a resolução de equações deixa de existir: Em muitos casos, encontrar as propriedades de todas as soluções que um dado conjunto de equações tem é mais importante do que encontrar uma solução particular: isto leva a algumas das áreas mais profundas em toda a matemática, tanto conceptualmente como em termos de técnica.

No século XX, a geometria algébrica dividiu-se em várias sub-áreas.

• O fluxo principal da geometria algébrica é dedicado ao estudo dos pontos complexos das variedades algébricas e, mais geralmente, aos pontos com coordenadas num campo algébrico fechado.
• O estudo dos pontos de uma variedade algébrica com coordenadas no campo dos números racionais ou num campo numérico tornou-se geometria aritmética (ou mais classicamente geometria diofantina), um subcampo da teoria dos números algébricos.
• O estudo dos pontos reais de uma variedade algébrica é o tema da geometria algébrica real.
• Uma grande parte da teoria da singularidade é dedicada às singularidades das variedades algébricas.
• Quando os computadores se tornaram mais comuns, desenvolveu-se um campo chamado "geomeria algébrica computacional". Este campo analisa a intersecção da geometria algébrica com a álgebra computacional. Preocupa-se com o desenvolvimento de algoritmos e software para estudar e encontrar as propriedades de variedades algébricas explicitamente dadas.

Grande parte do desenvolvimento da corrente principal da geometria algébrica no século XX ocorreu dentro de um quadro algébrico abstracto, com ênfase crescente nas propriedades "intrínsecas" das variedades algébricas não dependentes de qualquer forma particular de incorporação da variedade num espaço de coordenadas ambientais. Os desenvolvimentos em topologia, geometria diferencial e complexa ocorreram muito da mesma forma. Uma realização chave desta geometria algébrica abstracta é a teoria do esquema de Grothendieck, que permite utilizar a teoria do molho para estudar variedades algébricas de uma forma muito semelhante à sua utilização no estudo de colectores diferenciais e analíticos. Isto é obtido através da extensão da noção de ponto: Na geometria algébrica clássica, um ponto de uma variedade afim pode ser identificado, através do Nullstellensatz de Hilbert, com um ideal máximo do anel coordenado, enquanto os pontos do esquema afim correspondente são todos ideais principais deste anel. Isto significa que um ponto de tal esquema pode ser ou um ponto habitual ou uma subvariedade. Esta abordagem também permite uma unificação da linguagem e das ferramentas da geometria algébrica clássica, principalmente no que diz respeito a pontos complexos, e da teoria do número algébrico. A prova de Wiles da conjectura de longa data chamada o último teorema de Fermat é um exemplo do poder desta abordagem.

Perguntas e Respostas

P: O que é a Geometria Algébrica?

P: Que técnicas são usadas na geometria algébrica moderna?

P: Que tipo de equações a geometria algébrica estuda?

P: Como se usa a álgebra abstrata?

P: Existe algum tipo específico de linguagem usada nesse campo?

P: Qual foi o impacto da tecnologia moderna nesse campo?

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