Análise matemática

A análise matemática é uma parte da matemática. É muitas vezes abreviada para análise. Ela examina funções, seqüências e séries. Estas têm propriedades e características úteis que podem ser usadas na engenharia. A análise matemática é sobre funções contínuas, cálculo diferencial e integração.

GottfriedWilhelm Leibniz e Isaac Newton desenvolveram a maior parte da base da análise matemática.

Partes da análise matemática

Limites

Um exemplo para a análise matemática são os limites. Os limites são usados para ver o que acontece muito próximo das coisas. Os limites também podem ser usados para ver o que acontece quando as coisas se tornam muito grandes. Por exemplo, 1 n estilo de exibição 1 n estilo de exibição 1 nfrac ${\frac {1}{n}}$ ${\frac {1}{n}}$ chega perto de zero. O limite de 1 n estilo de exibição 1 nfrac ${\frac {1}{n}}$ à medida que n fica maior é zero. Costuma-se dizer que "O limite de 1 n estilo de exibição 1 ${\frac {1}{n}}$ nfrac é zero". Está escrito como lim n → ∞ 1 n = 0 {\i1}displaystyle {\i1}lim _{\i1}frac {\i}=0} $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0$ .

A contraparte seria 2 × n {\i1}displaystyle {\i} ${2}\times {n}$ . Quando o n {\i1}significativo {\i} ${n}$ aumenta, o limite vai até o infinito. Está escrito como lim n → → ∞ 2 × n = ∞ estilo de exibição n limite _ 2 vezes {2}=infty $\lim _{n\to \infty }{2}\times {n}=\infty$ .

O teorema fundamental da álgebra pode ser comprovado a partir de alguns resultados básicos em análisescomplexas. Ele diz que todo polinômio f ( x ) f(x)} f(x) com coeficientes reais ou complexos tem uma raiz complexa. Uma raiz é um número x que dá uma solução f ( x ) = 0 {\i1} f(x)=0} $f(x)=0$ . Algumas dessas raízes podem ser as mesmas.

Cálculo diferencial

A função f ( x ) = m x + c {\displaystyle f(x)={m}{x}+{c}}} $f(x)={m}{x}+{c}$ é uma linha. O m {\i1}{m}} ${m}$ mostra a inclinação da função e o c {\i1}{c}} ${c}$ mostra a posição da função na ordenada. Com dois pontos na linha, é possível calcular a inclinação m ( ${m}$ m) ao estilo de exibição:

m = y 1 - y 0 x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Uma função da forma f ( x ) = x 2 {\i1}}f(x)=x^{2}} $f(x)=x^{2}$ que não é linear, não pode ser calculado como acima. Só é possível calcular a inclinação utilizando tangentes e secantes. A secante passa por dois pontos e quando os dois pontos se aproximam, ela se transforma em uma tangente.

A nova fórmula é m = f ( x 1 ) - f ( x 0 ) x 1 - x 0 {\displaystyle m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}} $m={\frac {f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}$ .

Isto é chamado de quociente de diferença. O x 1 {\i1}estilo x_{\i} $x_{1}$ aproxima-se agora do x 0 {\i1}estilo x_{\i} $x_{0}$ . Isto pode ser expresso com a seguinte fórmula:

f ′ ( x ) = lim x → x 0 f ( x ) - f ( x 0 ) x - x 0 {\i1}f'(x)=lim _{x\i1}{\i1}{\i1}frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}} $f'(x)=\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ .

O resultado é chamado de deriva ou declive de f no ponto x (x) ${x}$ .

Integração

A integração é sobre o cálculo das áreas.

O símbolo ∫ a b f ( x ) d x estilo de exibição _{a}^{b}f(x)},{d}mathrm {d} x} $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$

é lido como "o integral de f, de a para b" e refere-se à área entre o eixo x, o gráfico da função f, e as linhas x=a e x=b. O {\i1}a {\i1}apresenta o ponto onde a área deve começar e o {\i1}b representa o ponto $b$ onde a área termina.

Páginas relacionadas

Alguns tópicos em análise são:

Cálculo
Análise complexa
Análise funcional
Análise numérica

Algumas idéias úteis em análise são:

Série
Sequências
Derivativos
Integrais

Perguntas e Respostas

P: O que é análise matemática?

R: A análise matemática é uma parte da matemática que se refere a funções, seqüências e séries. Ela fornece uma base lógica rigorosa para o cálculo que estuda as funções contínuas, a diferenciação e a integração.

P: O que são alguns subcampos chave da análise matemática?

R: Alguns subcampos chave da análise matemática incluem análise real, análise complexa, equação diferencial e análise funcional.

P: Como a análise matemática pode ser usada na engenharia?

R: A análise matemática pode ser usada em engenharia examinando as propriedades e características úteis das funções, seqüências e séries.

P: Quem desenvolveu a maior parte da base para a análise matemática?

R: Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton desenvolveram a maior parte da base para a análise matemática.

P: Qual era o antigo nome para a análise matemática?

R: O antigo nome para a análise matemática era "infinitesimal" ou "cálculo".

P: Como o cálculo se relaciona com o anaylsis matemático?

R: O cálculo estuda funções contínuas, diferenciação e integração que estão todas relacionadas com o campo da matemática conhecido como Análise Matemática.