Número de Fermat

Autor: Leandro Alegsa

18-12-2020

Um número Fermat é um número positivo especial. Os números Fermat têm o nome de Pierre de Fermat. A fórmula que os gera é

F n = 2 2 n + 1 F_{n}=2^{2^{\i1}+1} $F_{n}=2^{2^{\overset {n}{}}}+1$

onde n é um inteiro não-negativo. Os primeiros nove números de Fermat são (seqüência A000215 no OEIS):

F0 = ²¹ + 1 = 3

F1 = ²² + 1 = 5

F2 = ²⁴ + 1 = 17

F3 = ²⁸ + 1 = 257

F4 = 216 + 1 = 65537

F5 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 × 6700417

F6 = ²⁶⁴ + 1 = 18446744073709551617 = 274177 × 67280421310721

F7 = ²¹²⁸ + 1 = 340282366920938463463374607431768211457 = 59649589127497217 × 5704689200685129054721

F8 = ²²⁵⁶ + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 = 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321

A partir de 2007, apenas os primeiros 12 números de Fermat foram completamente levados em consideração. (escrito como um produto de números primos) Estas fatorizações podem ser encontradas em Prime Factors of Fermat Numbers.

Se 2n + 1 é prime, e n > 0, pode ser mostrado que n deve ser uma potência de dois. Cada prime da forma 2n + 1 é um número Fermat, e tais primes são chamados de primes Fermat. Os únicos primes conhecidos de Fermat são F0,...,F4.

Coisas interessantes sobre os números Fermat

Não há dois números Fermat que tenham divisores em comum.
Os números de Fermat podem ser calculados de forma recorrente: Para obter o número N, multiplique todos os números de Fermat antes dele, e acrescente dois ao resultado.

Para que são usados

Hoje, os números Fermat podem ser usados para gerar números aleatórios, entre 0 e algum valor N, que é uma potência de 2.

A conjectura de Fermat

Fermat, ao estudar estes números, conjecturou que todos os números de Fermat eram primos. Isto foi provado como errado por Leonhard Euler, que fatorizou F 5 {\f_{5}} $F_{5}$ em 1732.

Perguntas e Respostas

P: O que é um número Fermat?

R: Um número Fermat é um número positivo especial com o nome de Pierre de Fermat. Ele é gerado pela fórmula F_n = 2^2^(n) + 1, onde n é um número inteiro não negativo.

P: Quantos números de Fermat existem?

R: A partir de 2007, apenas os primeiros 12 números de Fermat foram completamente levados em conta.

P: Quais são os primeiros nove números de Fermat?

A: Os primeiros nove números de Fermat são F0 = 3, F1 = 5, F2 = 17, F3 = 257, F4 = 65537, F5 = 4294967297 (641 × 6700417), F6 = 18446744073709551617 (274177 × 67280421310721), F7 = 340282366920938463463374607431768211457 (5964958989127497217 × 5704689200685129054721), e F8 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937 (1238926361552897 × 93461639715357977777776969163558199606896584051237541638188580280321).

P: O que se pode dizer sobre os números primos do formulário 2n + 1?

R: Se 2n + 1 é primo e n > 0 então pode ser demonstrado que n deve ser uma potência de dois. Cada prime do formulário 2n + 1 é também um número Fermat e tais primes são chamados de primes Fermat. Os únicos primes conhecidos de Fermat são de 0 a 4.

P: Onde se pode encontrar fatorizações para todos os 12 números de Fermat fatorizados conhecidos?

R: As fatorizações para todos os 12 números de Fermat fatorizados conhecidos podem ser encontradas em Prime Factors of Fermat Numbers.

P: Quem era Pierre de Fermaat?

R: Pierre de Fermaat era um influente matemático francês que viveu no século XVII e cujo trabalho lançou grande parte das bases para a matemática moderna. Ele é mais conhecido por suas contribuições à teoria das probabilidades e à geometria analítica, bem como por seu famoso Último Teorema, que permaneceu sem solução até 1995, quando foi finalmente provado por Andrew Wiles, usando métodos de geometria algébrica.