Séries harmônicas alternadas
A série
∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {\i1}- estilo de exibição {\i}{\i1}{\i1}-{\i1}-frac {\i}{\i}{\i}=1-{\i}+{\i}frac {\i}{\i}{\i1}-{\i}-{\i1}{\i1}+{\i}frac {\i}{\i}{\i}- 5 pontos 
é conhecida como a série harmônica alternada. Esta série converge através do teste de série alternada. Em particular, a soma é igual ao logaritmo natural de 2:
1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln 2. estilo de jogo 1-frac {1}{2}+frac {1}-{3}-frac {1}{4}+frac {5}-cdots =ln 2.} 
A série harmônica alternada, embora condicionalmente convergente, não é absolutamente convergente: se os termos da série são sistematicamente reordenados, em geral a soma torna-se diferente e, dependendo da reordenação, possivelmente até infinita.
A fórmula da série harmônica alternada é um caso especial da série Mercator, a série Taylor para o logaritmo natural.
Uma série relacionada pode ser derivada da série Taylor para o arctangent:
∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 . } 
Esta é conhecida como a série Leibniz.
Série harmônica geral
A série harmônica geral é da forma
∑ n = 0 ∞ 1 a n + b , {\i1}displaystyle {\i}sum _{\i=0}^^{\i}{\i1}frac {\i}{an+b},} 
onde a ≠ 0 e b são números reais, e b/a não é zero ou um número inteiro negativo.
Pelo teste de comparação de limites com as séries harmônicas, todas as séries harmônicas gerais também divergem.
série p
Uma generalização da série harmônica é a série p (ou série hiper-harmônica), definida como
∑ n = 1 ∞ 1 n p {\i1}sum _{n=1}^{\i1}frac {n^{p}}}} 
para qualquer número real p. Quando p = 1, a série p é a série harmônica, que diverge. Ou o teste integral ou o teste de condensação Cauchy mostra que a série p converge para todos os p > 1 (neste caso, é chamada de série sobre-harmônica) e diverge para todos os p ≤ 1. Se p > 1 então a soma da série p é ζ(p), ou seja, a função zeta Riemann avaliada em p.
O problema de encontrar a soma para p = 2 é chamado de problema da Basiléia; Leonhard Euler mostrou que é π2/6. O valor da soma para p = 3 é chamado de constante de Apéry, já que Roger Apéry provou que se trata de um número irracional.
ln-series
Relacionada com a série p é a série ln, definida como
∑ n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\i1}displaystyle {\i=2}^{\i}{\i1}frac {\i}{n(\i n)^{p}}}} 
para qualquer número real positivo p. Isto pode ser demonstrado pelo teste integral para divergir para p ≤ 1, mas convergir para todos p > 1.
Série φ
Para qualquer função convexa, de valor real φ tal que
lim sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , estilo de jogo _{u}{\i}{\i1}{\i}{\i1}frac {\i}{\i1}-esquerda(u){\i}(u){\i}{\i1}-varphi(u){\i}(u){\i}{\i1}(u){\i}-direita 
a série
∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\i} {\i1}displaystyle {\i}sum _{\i=1}^{\i1}varphi {\i}left(frac {\i}{\i1}right){\i} 
é convergente. []
Série harmônica aleatória
A série harmônica aleatória
∑ n = 1 ∞ s n n , {\i1}displaystyle {n=1}^{\i}{\i1}frac {s_n}, {n},} 
onde as sn são variáveis aleatórias independentes, distribuídas de forma idêntica tomando os valores +1 e -1 com igual probabilidade 1/2, é um exemplo bem conhecido na teoria da probabilidade para uma série de variáveis aleatórias que convergem com a probabilidade 1. O fato desta convergência é uma consequência fácil tanto do teorema de Kolmogorov de três séries quanto da desigualdade máxima de Kolmogorov intimamente relacionada. Byron Schmuland da Universidade de Alberta examinou mais detalhadamente as propriedades da série harmônica aleatória e mostrou que a série convergente é uma variável aleatória com algumas propriedades interessantes. Em particular, a função de densidade de probabilidade desta variável aleatória avaliada em +2 ou em -2 assume o valor 0,12499999999999999999999999999999999999764..., diferindo de 1/8 por menos de 10-42. O trabalho de Schmuland explica porque esta probabilidade é tão próxima, mas não exatamente, de 1/8. O valor exato desta probabilidade é dado pelo produto cosseno integral infinito C2 dividido por π.
Séries harmônicas esgotadas
A série harmônica esgotada onde todos os termos em que o dígito 9 aparece em qualquer lugar do denominador são removidos pode ser mostrada para convergir e seu valor é inferior a 80. De fato, quando todos os termos contendo qualquer seqüência de dígitos em particular (em qualquer base) são removidos, a série converge.
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots \\[12pt]\geq {}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}+\cdots \end{aligned}}}](https://www.alegsaonline.com/image/fb2621888aefe7aee579338766d1934f214895fc.svg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{}1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}\!+\!{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\!+\!{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}\!+\!\cdots \!+\!{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[12pt]={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =\infty \end{aligned}}}](https://www.alegsaonline.com/image/bd95add1bb219ab2309037cab6efdb5dc31815db.svg)
