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equação de Schrödinger

Autor: Leandro Alegsa

18-12-2020

A equação de Schrödinger é uma equação diferencial (um tipo de equação que envolve uma função desconhecida e não um número desconhecido) que forma a base da mecânica quântica, uma das teorias mais precisas sobre como as partículas subatómicas se comportam. É uma equação matemática que foi pensada por Erwin Schrödinger em 1925. Define uma função de onda de uma partícula ou sistema (grupo de partículas) que tem um certo valor em cada ponto do espaço para cada tempo dado. Estes valores não têm qualquer significado físico (de facto, são matematicamente complexos), mas a função de onda contém toda a informação que pode ser conhecida sobre uma partícula ou sistema. Esta informação pode ser encontrada através da manipulação matemática da função de onda para retornar valores reais relacionados com propriedades físicas tais como posição, impulso, energia, etc. A função de onda pode ser pensada como uma imagem de como esta partícula ou sistema actua com o tempo e descreve-a tão completamente quanto possível.

A função de onda pode estar em vários estados diferentes ao mesmo tempo, pelo que uma partícula pode ter muitas posições, energias, velocidades ou outras propriedades físicas diferentes ao mesmo tempo (isto é, "estar em dois lugares ao mesmo tempo"). No entanto, quando uma destas propriedades é medida, tem apenas um valor específico (que não pode ser definitivamente previsto), e a função de onda está, portanto, num único estado específico. A isto chama-se colapso da função de onda e parece ser causado pelo acto de observação ou medição. A causa e interpretação exacta do colapso da função de onda é ainda amplamente debatida na comunidade científica.

Para uma partícula que só se move numa direcção no espaço, a equação de Schrödinger parece-se com a equação de Schrödinger:

- ℏ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x , t ) + V ( x ) Ψ ( x , t ) = i ℏ ∂ ∂ t Ψ ( x , t ) estilo -frac (x,|frac |bar ^2m}{2m}}{2mfrac ^parcial ^2}{2}{2mpsi (x,|,t)+V(x)|Psi (x,t)=i(bar |frac ^parcial ^2) $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

onde i {\displaystyle i} $i$ é a raiz quadrada de -1, ℏ {\displaystyle {\displaystyle } $\hbar$ é a constante reduzida de Planck, t {\displaystyle t} $t$ é o tempo, x {\displaystyle x} é uma posição, Ψ ( x , t ) {\i1} $\Psi (x,\,t)$ é a função de onda, e V ( x ) {\i1} $V(x)$ é a energia potencial, uma função de posição ainda não escolhida. O lado esquerdo é equivalente ao operador de energia Hamiltoniano que actua em Ψ {\i1}displaystyle {\i} $\Psi$ .

Busto de Erwin Schrödinger, na Universidade de Viena. Mostra também uma equação de Schrödinger.

Versão independente do tempo

Assumindo que a função de onda, Ψ ( x , t ) {\Psi (x,t)} $\Psi (x,t)$ é separável, ou seja, assumindo a função de duas variáveis pode ser escrito como o produto de duas funções diferentes de uma única variável:

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\i1}displaystyle \i (x,t)=\i (x)T(t)} $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

então, usando técnicas matemáticas padrão de equações diferenciais parciais, pode ser mostrado que a equação da onda pode ser reescrita como duas equações diferenciais distintas

i ℏ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\i1}displaystyle i{\i} {\i(dT(t)}=E,T(t)} $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- ℏ 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}{\i1}}displaystyle -{\i}frac {\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}{\i1}frac {\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i}{\i1}(x){\i}(x){\i}(x){\i}(x)=E $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

onde a primeira equação depende unicamente do tempo T ( t ) {\i1}displaystyle T(t)} $T(t)$ , e a segunda equação depende apenas da posição ψ ( x ) {\i1}displaystyle {\i}psi (x)} $\psi (x)$ e onde E {\displaystyle E} $E$ é apenas um número. A primeira equação pode ser resolvida imediatamente para dar

T ( t ) = e - i E t ℏ {\displaystyle T(t)=e^{-i{\frac {\i}{Et}{\i}{Bar }}}} $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

onde e {\displaystyle e} $e$ é o número de Euler. As soluções da segunda equação dependem da função energética potencial, V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ e, portanto, não pode ser resolvido até que esta função seja dada. Pode ser demonstrado usando a mecânica quântica que o número E {\displaystyle E} $E$ é na realidade a energia do sistema, pelo que estas funções de ondas separáveis descrevem sistemas de energia constante. Dado que a energia é constante em muitos sistemas físicos importantes (por exemplo: um electrão num átomo), a segunda equação do conjunto de equações diferenciais separadas apresentadas acima é frequentemente utilizada. Esta equação é conhecida como Equação de Schrödinger independente do tempo, uma vez que não envolve t {\displaystyle t} $t$ .

Interpretações da função Wave

Interpretação Nascida

Há muitas interpretações filosóficas da função da onda, e algumas das ideias principais serão aqui consideradas. A ideia principal, denominada interpretação da probabilidade Born (com o nome do físico Max Born) vem da simples ideia de que a função de onda é integrável ao quadrado; ou seja

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {\i1}displaystyle {\i} ^^^{\i1}infty ^^!|Psi (x,t)|^{\i}dx<<<infty ^ $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

Esta fórmula bastante simples tem grandes implicações físicas. A hipótese nata de que o integral acima determina que a partícula existe algures no espaço. Mas como podemos encontrá-la? Utilizamos a integral

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\i1}displaystyle {{b}^{a}!|Psi (x,t)dx=P(b<x<a)} $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

onde P ( b < x < a ) P(b<x<a)} é a $P(b<x<a)$ probabilidade de encontrar a partícula na região, desde b ( b < x < a ) ao estil $b$ P(b<x<a)} . Por outras palavras, tudo o que pode ser conhecido antecipadamente sobre uma partícula em geral são probabilidades, médias e outras quantidades estatísticas associadas às suas quantidades físicas (posição, impulso, etc.). Basicamente, esta é a interpretação Nascida.

Interpretação de Copenhaga

Pode ser feita uma extensão das ideias acima referidas. Uma vez que a interpretação de Born diz que a partícula de posição real não pode ser conhecida, podemos derivar o seguinte. Se Ψ 1 , Ψ 2 , Ψ 3 , ... Ψ n {\i1},}Psi _{\i _\i _\i _\i _\i _\i},{\i _\i _\i _\i _\i}} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ são soluções para a equação da onda, então a sobreposição dessas soluções, ou seja

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {\i1}=c_{1}\i _{1}+c_{2}\i _{2}+c_{3}\i _{3}+dots +c_{n}\i _{n}\i _{n}\i _{n $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

é também uma solução. Isto implica, portanto, que a partícula existe em todas as posições possíveis. Quando um observador chega e mede a posição da partícula, então a sobreposição é reduzida a uma única função de onda possível. (i.e., Ψ s {\i1}sisplaystyle {ssi _{s}} → $\Psi _{s}$ Ψ n {\i1}psi _{n}} $\Psi _{n}$ onde Ψ n Psi _n $\Psi _{n}$ é qualquer um dos possíveis estados da função onda). Esta ideia de que a posição de uma partícula não pode ser exactamente conhecida, e que uma partícula existe em múltiplas posições simultaneamente dá origem ao princípio da Incerteza. A formulação matemática deste princípio pode ser dada por

Δ x Δ p > ℏ 2 {\i1}displaystyle Delta x Delta p>frac {\i}{\i1} $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

Onde Δ xdisplaystyle Delta x $\Delta x$ é a incerteza na posição, e Δ p {\i1}displaystyle Delta p} $\Delta p$ é a incerteza no momento. Este princípio pode ser matematicamente derivado da transformação de Fourier entre o momento e a posição, tal como definido pela mecânica quântica, mas não o iremos derivar neste artigo.

Outras interpretações

Existem várias outras interpretações, tais como a interpretação de muitos mundos, e o determinismo quântico.

Perguntas e Respostas

P: O que é a equação de Schrödinger?

R: A equação de Schrödinger é uma equação diferencial que forma a base da mecânica quântica e foi pensada por Erwin Schrödinger em 1925. Ela define uma função de onda de uma partícula ou sistema que tem um certo valor em cada ponto do espaço para cada tempo dado.

P: Que informações podem ser encontradas a partir da manipulação da função de onda?

R: Manipulando matematicamente a função de onda, podem ser encontrados valores reais relativos a propriedades físicas tais como posição, momento, energia, etc.

P: O que significa quando uma partícula pode ter muitas posições, energias, velocidades ou outras propriedades físicas diferentes ao mesmo tempo?

R: Isso significa que a função de onda pode estar em vários estados diferentes ao mesmo tempo e, portanto, uma partícula pode ter muitas posições, energias, velocidades ou outras propriedades físicas diferentes ao mesmo tempo (isto é, "estar em dois lugares ao mesmo tempo").

P: O que é o colapso da função das ondas?

R: O colapso da função de onda é quando uma dessas propriedades é medida, ela tem apenas um valor específico (que não pode ser definitivamente previsto), e a função de onda está, portanto, em apenas um estado específico. Isso parece ser causado pelo ato de observação ou de medição.

P: Quais são alguns componentes da equação de Schrödinger?

R: Os componentes da equação de Schrödinger incluem i que é igual à raiz quadrada -1; ℏ que representa a constante reduzida de Planck; t que significa tempo; x que representa posição; Ψ (x , t) que significa funções de onda; e V(x) que representa energia potencial como uma função de posição ainda não escolhida.

P: Como interpretamos o colapso da função de onda?

R: A causa exata e a interpretação do colapso da função de onda ainda é amplamente debatida na comunidade científica.